Supongamos $f$ es una función real definida en $\mathbb{R}$ que satisface $$\lim_{h\rightarrow 0}\ [f(x+h)-f(x-h)]=0.$$ ¿Esto implica que $f$ es continua?
Fuente: W. Rudin, Principios de Análisis Matemático, en el Capítulo 4, ejercicio 1.
Respuestas
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No. Considere la función $f$ que es igual a $0$ en toda la recta real, excepto en $x=0$ donde $f(0)=1$. Debido a $\mathbb{R}-\{0\}$ está abierto, alrededor de cualquier valor distinto de cero punto, podemos encontrar puede encontrar un barrio donde la $f$ es igual a $0$, por lo que la condición sostiene claramente. Y el estado tiene al $x=0$, debido a $x\pm h$ siempre va a ser$0$$h\neq 0$, y en la definición de límite, que nunca consideran a $h=0$.
Pero $f$ es manifiestamente discontinuo, por lo que estamos por hacer.
Frangello
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Para aquellos interesados en más información acerca de esta propiedad, las funciones de la satisfacción que se llaman simétricamente funciones continuas. Se sabe que si una función es simétrica continua en cada punto de un intervalo, entonces el conjunto de puntos en los que la función no es continua, es pequeño, tanto en la medida de sentido (tiene medida de Lebesgue cero) y la categoría de Baire sentido (es un primer conjunto de la categoría). Sin embargo, la no-continuidad de una función puede tener cardinalidad del continuo. De hecho, puede tener cardinalidad del continuo en cada abrir subinterval del dominio de intervalo.
Ver Marcin Szyszkowski del 2000 Tel. D. Tesis doctoral bajo Chris Ciesielski (en la Universidad de West Virginia), Simétricamente Funciones Continuas, que está disponible gratuitamente en internet, para mucho más acerca de estas funciones.
Por cierto, una manera de responder a Rudin la pregunta (definitivamente no es lo que tenía en mente) es observar que hay $c$ muchas funciones continuas y $2^c$ muchos simétricamente funciones continuas (ver Miroslav Chlebík de 1991 del Proc. AMS papel de este último resultado).
(añadido el día siguiente) Esta mañana he tenido la oportunidad de mirar a Brian S. Thomson Simétrica Propiedades de las Funciones Reales (1994). Dada una función de $f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$ que es simétricamente continua en cada punto, vamos a $D(f)$ el conjunto de puntos en el que $f$ no es continua en el sentido usual de la palabra. A partir de 1994 (e incluso ahora, creo), no caracterización exacta es conocida por los subconjuntos de a $\mathbb R$ que es igual a $D(f)$ para algunos simétricamente función continua $f.$ sin Embargo, se sabe que si $Z$ es una contables de la unión de $N$-conjuntos, entonces existe un simétricamente función continua $f$ tal que $Z \subseteq D(f)$ ( $f$ no es continua en cada punto en $Z,$ y tal vez también en algunos puntos, no en $Z$).
Un corolario de esto es que existe una forma simétrica función continua $f$ tal que $D(f)$ ha dimensión de Hausdorff $1$ en cada intervalo abierto (es decir, $D(f)$ está "en todas partes de la dimensión de Hausdorff $1").$ tenga en cuenta que esto es mucho más fuerte que el $D(f)$ tener cardinalidad $c$ en cada intervalo abierto, el resultado que he mencionado anteriormente. "En todas partes de la dimensión de Hausdorff $1$" el resultado se sigue del hecho de que existen, en cada intervalo abierto, $N$-conjuntos de dimensión de Hausdorff arbitrariamente cerca de $1,$ y por lo tanto cada intervalo abierto que contiene un $\sigma$-$N$-conjunto con la dimensión de Hausdorff igual a $1,$ y por lo tanto se puede poner una $\sigma$-$N$-conjunto de dimensión de Hausdorff $1$ en cada intervalo de la forma $(r,s)$ donde $r<s$ son números racionales (el resultado neto será un $\sigma$-$N$-el conjunto de todas partes de la dimensión de Hausdorff $1$).
Por otro lado, por un resultado demostrado por Miroslav Chlebík (no publicado) que se afirmó y demostró en Thomson del libro (pp 57-59), se deduce que el no $D(f)$ conjunto puede contener el Cantor medio tercios set $C$. De hecho, es el caso que si $f$ es simétricamente continua, entonces existe $G \subseteq C$ tal que $G$ es residual-en -$C$ $f$ es continua en cada punto de $G.$, $f$ es continua en "Baire casi todos los" puntos de $C.$ Obviamente, teniendo en cuenta mis comentarios acerca de la dimensión de Hausdorff, el Cantor medio tercios set $C$ no es "demasiado grande". En su lugar, el problema tiene que ver con una cierta aritmética-combinatoria de la propiedad de la distribución de los puntos en $C.$
Dropped.on.Caprica
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Considere la función $$f(x)=\begin{cases}0,&\qquad\hbox{$x$ is irrational}\\1/q,&\qquad\hbox{$x=p/q$ where $\gcd(p,q)=1$ and $q>0$}\end{cases}$$ En primer lugar, podemos ver que $f(1+x)=f(x)$, e $f(-x)=f(x)$, por lo que se puede restringir $-1<x<1$. En segundo lugar, quiero mostrar que $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$ siempre $-1<x_0<1$. Para cada una de las $\epsilon>0$, no sólo existe la finitud muchos números reales $-1<x<1$ tal que $|f(x)|\ge\epsilon$, por tal $x$ debe ser número racional con denominador $0<q\le1/\epsilon$. Por lo tanto existe $\delta>0$ tal que $|f(x)|<\epsilon$ todos los $x$ tal que $0<|x-x_0|<\delta$, por lo $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$. Por lo tanto, $f(x)$ es continua en el número irracional $x=\alpha$ y no en el número racional $x=r$ $f(x)$ es periódica.
$\lim_{h\to0}(f(x+h)-f(x-h))=0$, debido a $\lim_{x\to r}f(x)=0$ para cada número racional $x$, llegamos a la conclusión de que $f(x)$ es el contraejemplo para $f$ es continua, y el conjunto de puntos de discontinuidad es denso en $\Bbb R$.
No sé si hay una función de $f$ tal que $f$ es discontinua en casi todas partes, pero para todos los $x_0$ el límite de $\lim_{h\to0}(f(x_0+h)-f(x_0-h))=0$.
