Soy nuevo en la topología, y no puedo entender por qué la métrica y el producto de las topologías más de $\mathbb{R}^n$ son equivalentes. Podría alguien por favor, muéstrame cómo probar esto?
Respuestas
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El producto topología inducida por esta norma. $$\|x\|_{\rm prod} = \max\{|x_k|, 1\le k \le n\}$$ Utilicemos $\|\cdot\|$ por la norma Euclídea. Entonces $$\|x\| = \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}\le \left(\sum_{k=1}^n \|x\|_{\rm prod}^2\right)^{1/2} = \|x\|_{\rm prod}\sqrt{n}.$$
Ahora para revertir la desigualdad.
Tenemos
$$|x_k |\le \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}, \qquad 1\le k \le n,$$
por lo $$\|x\|_{\rm prod} \le \|x\|.$$
Las normas son equivalentes.
mona
Puntos
38
Con el fin de demostrar que dos topologías son equivalentes usted necesita para probar que para cada punto de $x$ y cada elemento del conjunto abierto de la primera topología $U_1$ tal que $x\in U_1$ existen algunas conjunto abierto de la segunda topología $U_2$ tal que $x\in U_2\subset U_1$ y viceversa.
Tome $x\in\mathbb{R}^n$ y tomar algún conjunto abierto $U_1$ de métrica toplogy que contiene $x$. Desde $U_1$ está abierto podemos encontrar una bola de $B(x,r)\subset U_1$ que contiene $x$. Esta bola contiene el cuadro de $U_2=[x-\delta,x+\delta]\times\ldots\times[x-\delta,x+\delta]$ $\delta$ lo suficientemente pequeño (de hecho, podemos tomar $\delta=n^{-1/2}r$). que es un conjunto abierto en la topología producto y, además,$x\in U_2\subset B(x,r)\subset U_1$. Por lo tanto hemos demostrado que la métrica de la topología de la contenida en el producto de la topología.
De nuevo tome $x\in\mathbb{R}^n$ y tomar algún conjunto abierto $U_2$ del producto toplogy que contiene $x$. Desde $U_2$ está abierto podemos encontrar un cuadro de $[x-\delta,x+\delta]\times\ldots\times[x-\delta,x+\delta]$ que contiene $x$. Esta caja contiene el balón $U_1:=B(x,0.5\cdot\delta)$ es decir, un elemento de la base de la topología métrica y, además,$x\in U_1\subset[x-\delta,x+\delta]^n\subset U_2$. Por lo tanto hemos demostrado que el producto de la topología de la figura en la métrica de la topología.
Dado que tanto las implicaciones son probados llegamos a la conclusión de que este topologías son coincidentes.
