¿Cómo puedo calcular la cohomología del plano proyectivo complejo? $CP^2$ ? Cualquier magia como la que aquí ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay muchos enfoques diferentes dependiendo de lo que sepas, de la encarnación precisa de la cohomología que estés utilizando, etc.
De entrada, lo que parece más fácil es lo siguiente: para cualquier $n \in \mathbb{Z}^+$ , complejo proyectivo $n$ -espacio $\mathbb{C} \mathbb{P}^n$ tiene la estructura natural de un complejo CW con exactamente una celda en cada grado $2k$ para $0 \leq k \leq n$ y ninguna célula en otros grados. (Se puede ver esto escribiendo proyectiva $n$ -espacio como afín $n$ -espacio de unión proyectivo $n-1$ espacio). Esto hace que la co/homología funcione de la forma más sencilla posible: todos los mapas de unión son cero, por lo que tenemos $H_i(\mathbb{C} \mathbb{P}^n, \mathbb{Z})$ es $\mathbb{Z}$ si $0 \leq i \leq 2n$ y $i$ es par y $0$ por lo demás. La desaparición de todos los grupos de homología impar también hace que el Teorema del Coeficiente Universal sea fácil de aplicar, y se obtiene exactamente la misma respuesta para los grupos de cohomología.
Si quieres usar algún otro método -- o, si necesitas saber la estructura del anillo de la cohomología (respuesta corta: es un anillo polinómico truncado) -- entonces por favor házmelo saber.
VHB-Iran
Puntos
41
Dejemos que $f: \mathbb CP^n \to \mathbb R$ sea dada por: $$[z_0, \dots, z_n] \mapsto \frac{|z_1|^2 + 2|z_2|^2 + \dots + n|z_n|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2 + \dots + |z_n|^2}$$ Se puede demostrar que $f$ es una función morse con polinomio morse $P_f(t) = \sum_{k=0}^n t^{2k}$ que satisface la condición de hueco y por lo tanto $f$ es una función morse perfecta. Concluimos $H^k(\mathbb CP^n,\mathbb R) = \mathbb R$ para $k = 0,2,\dots,2n$ y $H^k(\mathbb CP^n,\mathbb R) = 0$ de lo contrario.
