¿Qué es la expresión para la suma de esta serie?

Question

¿Cuál es la suma de la serie $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n+2}}{n(n+2)}$$ in terms of $x $, where $-1 \le x \le 1$?

Puedo limpiarlo distinguiendo: $$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n+1}}n$ $but no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

¿$$ f'(x) = \sum_ {n = 1} ^ \infty \frac {x ^ {n+1}} n = x\sum_ {n = 1} ^ \infty \frac {x ^ n} n: = xg (x) \\ g'(x) = \sum_ {n = 1} ^ \infty {x ^ {n-1}} = \sum_ {n = 0} ^ \infty {x ^ n} = \frac 1 {1-x} \; | x | < 1$ $ puede continuar de ahí?

Answer 2

Sugerencia. Usted puede continuar con el siguiente estándar de la expansión en series de Taylor: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n}}n=-\ln(1-x),\quad |x|<1. $$

Answer 3

SUGERENCIA: Intente volver a escribir la serie como: $$f(x)= \sum _{n=1}^{\infty}x^{n+2}\cdot\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+2}\left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+2}\right)$$