¿Se puede quitar el principio de explosión de lógica constructiva?

Question

La lógica clásica tiene el teorema de ($p\wedge\lnot p)\rightarrow q$, que voy a llamar a EFQ ("ex falso quodlibet"). Lógica constructiva a menudo tiene el principio construido en, en la forma de un axioma $\bot\rightarrow q$ que uno puede utilizar para probar EFQ a través de $(p\wedge\lnot p)\rightarrow \bot$.

Supongamos que uno lleva algún sistema habitual de lógica constructiva y elimina $\bot\rightarrow q$. Aunque en $(p\wedge\lnot p)\rightarrow \bot$ todavía es comprobable, ya no hay ninguna manera de eliminar las $\bot$, por lo que uno no puede conseguir nada más lejos de una contradicción. O eso creo, no me pierdas de nada? Puede uno todavía deducir EFQ? Si uno elimina el $\bot$-eliminación de la regla como ya he sugerido, ¿es la resultante lógica de qué dependen equivalente formalización uno empieza con?

Este sistema ya no es más completa con respecto a la habitual (modelo de subconjuntos de a $\Bbb R$), pero quizás se pueda ajustar el modelo un poco y conseguir un modelo ligeramente diferente con respecto a que esta lógica es completa y coherente.

Hay algo sale mal con esta lógica que se me haya pasado por alto? Se discutió en cualquier lugar? (No me acuerdo de leer acerca de ello en Sacerdote del libro En Contradicción, pero lo leí hace algunos años y puede haber olvidado.)

Answer 1

Se llama ex falso axioma.

La lógica obtenidos a partir de la eliminación de lo que se llama un mínimo de lógica y está bien estudiado. En esta lógica, $\bot$ actuar como otra fórmula atómica con ninguna propiedad en particular.

En real teorías que a menudo puede sustituir a $\bot$ con una fórmula explícita que iba a jugar su papel, por ejemplo, en Heyting aritmética, podemos derivar arbitraria fórmulas de $0=1$ sin necesidad de $\bot$ o el ex falso axioma.

Troelstra y van Dalen del "Constructivismo en Matemáticas" tiene un a través de la discusión de la lógica (IIRC).

Answer 2

Esto es estudiado bajo el nombre "lógica paraconsistente": https://en.wikipedia.org/wiki/Paraconsistent_logic

Como describe el artículo, también debe eliminar al menos una otra norma, con el fin de conseguir cualquier cosa que vale la pena. De lo contrario, como en la respuesta del estudiante, usted puede todavía efectivamente demostrar casi cualquier cosa de falso.

Answer 3

Todavía tenemos $\lnot$ introducción: en virtud de la asunción de $p$, una derivación de $\bot$ nos da $\lnot p$. Así, en lo constructivo/ intuitionistic lógica, si tenemos una prueba de $\bot$ podemos derivar $\lnot p$ cualquier $p$ alguna. Esta lógica se puede derivar la "casi" nada, y en particular, para cualquier $p$ demuestra, también probará $\lnot p$. Y en la lógica clásica, ya que hemos de eliminación de la doble negación, tenemos plena EFQ: derivar primera $\lnot p$,$\lnot \lnot p$, después de aplicar DNE para obtener $p$. Así que uno todavía recibe una gran cantidad de $\bot$ sin más restricciones en el sistema a prueba. Como se puede saber a partir de la lectura de Sacerdote, se han hecho esfuerzos en este sentido, por ejemplo, $p \rightarrow q$ sólo cuando hay alguna relación entre el$p$$q$.

Answer 4

Robin Houston señala que si podemos deducir $q$ $p\vee q$ y $\lnot p$, entonces podemos deducir $q$ $p\wedge \lnot p$.