El fin de la mayor subgrupo cíclico de $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720})$

Question

De vuelta a la más fácil de los problemas un poco...

Me han dicho que es posible encontrar el orden de la mayor subgrupo cíclico de $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720})$ sin considerar los automorfismos de a $\mathbb{Z}_{720}$. He aquí lo que tengo:

Tenemos que $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720}) \cong U(720)$. Entonces a partir de la $720=2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ tenemos $U(720)=U(16) \oplus U(9) \oplus U(5)$. Algunos simples cálculos muestran que $U(16)$ no es cíclica, mientras que$U(9)$$U(5)$, lo $U(720) \cong U(16) \oplus \mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_4$. Desde $\gcd(6,4) \ne 1$, $\mathbb{Z}_6 \oplus \mathbb{Z}_4$ no es cíclica, por lo que este, junto con el hecho de que el no cíclicos $U(16)$ de la orden de 8 tendría un subgrupo cíclico de orden 4 en la mayoría, nos da que el mayor subgrupo cíclico de $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720})$ es de orden $6$.

1. Es esto correcto?

2. No me fijé en automorfismos de a $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720})$ per se, pero me hizo considerar los elementos de $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_{720})$ hasta isomorfismo... hay una manera de obtener este resultado con solo ver la estructura de $\mathbb{Z}_{720}$?

Gracias.

Answer 1

Si nos encontramos con un elemento de la máxima orden en $Aut({\mathbb Z_{720}})$, entonces este elemento será un generador de la máxima orden cíclico subgrupo de $Aut({\mathbb Z_{720}})$.

En primer lugar, utilizamos Thm: $Aut({\mathbb Z_n})\cong U(n)$. Usted tuvo el primer paso:

$$Aut({\mathbb Z_{720}})\cong U(720)=U(16\cdot 9\cdot 5)\cong U(16)\oplus U(9)\oplus U(5)\cong {\mathbb Z_2}\oplus{\mathbb Z_4}\oplus{\mathbb Z_6}\oplus{\mathbb Z_4} $$

Vemos inmediatamente que las órdenes de los elementos de $U(720)$ sólo puede ser$1,2,3,4,6,$$12$, desde un elemento de ${\mathbb Z_2}\oplus{\mathbb Z_4}\oplus{\mathbb Z_6}\oplus{\mathbb Z_4}$ tiene la forma $(a,b,c,d)$, donde $|a|=1$, $|b|\in \{1,2,4\}$, $|c|\in\{1,2,3,6\}$, y $|d|\in\{1,2,4\}$. Ya que el orden de un elemento en este formulario $(a,b,c,d)$ es el mínimo común múltiplo de los pedidos de cada elemento, es fácil ver que ver que $12$ es el máximo orden de un elemento en $U(720)$. Por lo tanto la máxima orden cíclico subgrupo de $Aut({\mathbb Z_{720}})$ orden $12$.

Podemos llegar a la misma conclusión teniendo en cuenta las propiedades de $Aut({\mathbb Z_{720}})$ solo:

Deje $\phi\in Aut({\mathbb Z_{720}})$. A continuación, la asignación de $\phi$ está totalmente determinado por $\phi(1)$, que debe ser relativamente primer a $720$. Tenga en cuenta que ${\mathbb Z_{720}}\cong {\mathbb Z_{16}}\oplus {\mathbb Z_9}\oplus {\mathbb Z_5}$. Ahora la imagen bajo isomorfismo $\phi(1)=(a,b,c)$ donde $a,b$, e $c$ son multiplicativos unidades de ${\mathbb Z_{16}}$, es un multiplicativo de la unidad de ${\mathbb Z_{16}}$, ${\mathbb Z_9}$, y ${\mathbb Z_5}$, respectivamente. Pero estos grupos de unidades son isomorfos a ${\mathbb Z_2}\oplus {\mathbb Z_4}, {\mathbb Z_6}$, e ${\mathbb Z_4}$ respectivamente. El orden de $\phi$ es el mínimo común múltiplo de a $(|a|,|b|,|c|)$, y por lo tanto es en la mayoría de las $12$.

Answer 2

Si $\gcd(n,m)=1$, tenga en cuenta que $$\mathbb Z_n\oplus\mathbb Z_m\cong\mathbb Z_{nm}.$$ Por lo tanto, $$\mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_6\cong \mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_3\cong \mathbb Z_2\oplus\color{red}{\mathbb Z_{12}}.$$

Answer 3

Una vez que haya encontrado la estructura de $\def\Z{\Bbb Z}\Z_4\oplus\Z_2$, se puede aplicar el teorema de estructura de para fintely generado Abelian grupos (o más elementarily un par de aplicaciones ot el teorema del resto Chino) a la conclusión de que la $(720)\cong\Z_2\oplus\Z_2\oplus\Z_4\oplus\Z_{12}$. Pero si usted solo necesita encontrar el orden de la mayor subgrupo cíclico, es más fácil de usar que el orden de un elemento $g$ en un producto directo de grupos de $G_i$ es el mínimo común múltiplo de los pedidos de sus componentes $g_i\in G_i$. En particular, si los grupos se $G_i$ son Abelian (de modo que el conjunto de la incidencia de pedidos es cerrado bajo mínimo común múltiplo) de la máxima posible orden es el mínimo común múltiplo de la máxima órdenes en los grupos de $G_i$. Para $U(720)$ el último número es $\operatorname{lcm}(4,6,4)=12$.