Integral de la desigualdad problema (de cauchy-schwarz)

Question

Demostrar que cualquier continuamente función derivable $f : [a,b] \rightarrow R$ que $f(a) = 0$ satisface la siguiente desigualdad $$\int^b_a f(x)^2dx \leqslant (b-a)^2 \int_a^b f^{'}(x)^2dx$$ Al mirarlo, creo que tenemos que aplicar la de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero soy incapaz de ir más allá. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Por el teorema fundamental del cálculo $$f(x) = \int^x_a f^{'}(t)dt$$ Square both sides and use the cauchy-schwarz inequality, $$f(x)^2 = \left(\int_a^bf^{'}(t)dt\right)^2 \leqslant (b-a)\int^x_a f^{'}(t)^2dt$$ El R. H. S. es una constante y la L. H. S depende de x. Integrar la desigualdad w.r.t. x nos da $$\int^b_a f(x)^2 dx \leqslant (b-a)^2 \int_a^b f^{'}(t)^2dt$$, que es su planteamiento del problema.