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Diagonal contenida en el interior de la inversa de la imagen de abrir los conjuntos que contiene la diagonal implica la continuidad

Deje X,Y ser espacios topológicos y deje f:XY ser una función y deje g=f×f:X×XY×Y.

Quiero demostrar que si:

1) Y es normal y

2) para abrir todos los conjuntos de U Y×Y que contiene la diagonal Δ(Y), el interior de la inversa de la imagen, (g1(U)), contiene la diagonal Δ(X)

A continuación, f es continua.

Ya que el producto de la normal de espacios no necesitan ser normal, mi actual línea de pensamiento es mostrar que g es continua componiendo g, con una proyección de mapeo p, e invocando la característica universal de la topología producto o algo. Sin embargo, esta ruta parece omitir el uso de la segunda condición.

3voto

Mark Perlman Puntos 437

Deje V ser abierta en Y, y la revisión xf1(V). Entonces a partir de la Y es Hausdorff, {f(x)} es cerrado en Y, como es YV; estos dos conjuntos son disjuntos desde f(x)V. Por la normalidad de las Y (realmente sólo necesitamos regularidad), elija abrir distintos conjuntos de U,WY con f(x)U (YV)W . A continuación,WV=Y, por lo que D:=(W×W)(V×V) está abierto en Y×Y y contiene a la diagonal. Por supuesto, el interior de f1(D) contiene la diagonal de X. Vamos B={yX:(x,y)(f1(D))}. A continuación, B es abierta, porque cada una de las (x,y) es un punto en un interior, y por lo tanto existe un abierto que contiene a (x,y) contenida en el interior, que da lugar a un barrio de yB. Además, f(B)V, debido a f(x) es disjunta de aW, por lo que no hay punto de (x,y) wW se encuentra en f1(D), por lo que f debe tomar (x,y)V×V. Por lo tanto f1(V) es abierto, por lo f es continua, como se desee.

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