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Diagonal contenida en el interior de la inversa de la imagen de abrir los conjuntos que contiene la diagonal implica la continuidad

Deje X,YX,Y ser espacios topológicos y deje f:XYf:XY ser una función y deje g=f×f:X×XY×Yg=f×f:X×XY×Y.

Quiero demostrar que si:

1) YY es normal y

2) para abrir todos los conjuntos de UU Y×YY×Y que contiene la diagonal Δ(Y)Δ(Y), el interior de la inversa de la imagen, (g1(U))(g1(U)), contiene la diagonal Δ(X)Δ(X)

A continuación, ff es continua.

Ya que el producto de la normal de espacios no necesitan ser normal, mi actual línea de pensamiento es mostrar que gg es continua componiendo gg, con una proyección de mapeo pp, e invocando la característica universal de la topología producto o algo. Sin embargo, esta ruta parece omitir el uso de la segunda condición.

3voto

Mark Perlman Puntos 437

Deje VV ser abierta en YY, y la revisión xf1(V)xf1(V). Entonces a partir de la YY es Hausdorff, {f(x)}{f(x)} es cerrado en YY, como es YVYV; estos dos conjuntos son disjuntos desde f(x)Vf(x)V. Por la normalidad de las YY (realmente sólo necesitamos regularidad), elija abrir distintos conjuntos de U,WYU,WY con f(x)Uf(x)U (YV)W(YV)W . A continuación,WV=YWV=Y, por lo que D:=(W×W)(V×V)D:=(W×W)(V×V) está abierto en Y×YY×Y y contiene a la diagonal. Por supuesto, el interior de f1(D)f1(D) contiene la diagonal de XX. Vamos B={yX:(x,y)(f1(D))}. A continuación, B es abierta, porque cada una de las (x,y) es un punto en un interior, y por lo tanto existe un abierto que contiene a (x,y) contenida en el interior, que da lugar a un barrio de yB. Además, f(B)V, debido a f(x) es disjunta de aW, por lo que no hay punto de (x,y) wW se encuentra en f1(D), por lo que f debe tomar (x,y)V×V. Por lo tanto f1(V) es abierto, por lo f es continua, como se desee.

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