Diagonal contenida en el interior de la inversa de la imagen de abrir los conjuntos que contiene la diagonal implica la continuidad

Question

Deje $X, Y$ ser espacios topológicos y deje $f:X \rightarrow Y$ ser una función y deje $g = f \times f : X \times X \rightarrow Y \times Y$.

Quiero demostrar que si:

1) $Y$ es normal y

2) para abrir todos los conjuntos de $U$ $Y \times Y$ que contiene la diagonal $\Delta(Y)$, el interior de la inversa de la imagen, $(g^{-1}(U))^{\circ}$, contiene la diagonal $\Delta(X)$

A continuación, $f$ es continua.

Ya que el producto de la normal de espacios no necesitan ser normal, mi actual línea de pensamiento es mostrar que $g$ es continua componiendo $g$, con una proyección de mapeo $p$, e invocando la característica universal de la topología producto o algo. Sin embargo, esta ruta parece omitir el uso de la segunda condición.

Answer 1

Deje $V$ ser abierta en $Y$, y la revisión $x \in f^{-1}(V)$. Entonces a partir de la $Y$ es Hausdorff, $\{f(x)\}$ es cerrado en $Y$, como es $Y-V$; estos dos conjuntos son disjuntos desde $f(x) \in V$. Por la normalidad de las $Y$ (realmente sólo necesitamos regularidad), elija abrir distintos conjuntos de $U,W \subset Y$ con $f(x) \in U$ $(Y-V) \subset W$ . A continuación,$W \cup V = Y$, por lo que $D:=(W \times W) \cup (V \times V)$ está abierto en $Y \times Y$ y contiene a la diagonal. Por supuesto, el interior de $f^{-1}(D)$ contiene la diagonal de $X$. Vamos \begin{align*} B = \{y \in X : (x,y) \in (f^{-1}(D))^{\circ}\}. \end{align*} A continuación, $B$ es abierta, porque cada una de las $(x,y)$ es un punto en un interior, y por lo tanto existe un abierto que contiene a $(x,y)$ contenida en el interior, que da lugar a un barrio de $y$$B$. Además, $f(B) \subset V$, debido a $f(x)$ es disjunta de a$W$, por lo que no hay punto de $(x,y)$ $w \in W$ se encuentra en $f^{-1}(D)$, por lo que $f$ debe tomar $(x,y)$$V \times V$. Por lo tanto f$^{-1}(V)$ es abierto, por lo $f$ es continua, como se desee.