Definición(es) de Pila

Question

He comenzado a aprender sobre stacks, y surgio una pregunta en mis intentos de observar la definición de un stack desde varios puntos de vista. Primero, recuerdo algo de antecedentes y arreglo la notación (que es una combinación del Stacks for everybody de Fantechi, Notes on the construction of the moduli space of curves de Edidin, y mi propia notación: lo siento por eso).

Sea $\mathfrak S:=\underline S:=Sch/S$ la categoría "base" de esquemas sobre un esquema fijo $S$, y sea $Gpd$ la categoría de groupoides. Decimos que una fibración de groupoides $\pi:\mathfrak X\to\mathfrak S$ es un stack si suceden dos cosas: $(i)$ todo dato de descenso es efectivo, y $(ii)$ los isomorfismos son una gavilla para $\mathfrak X$ (con respecto a la topología étale).

(Puede ayudar reformular $(ii)$ de la siguiente manera: para cada esquema $S$-esquema $B$ y para cada dos objetos $X,Y$ en la fibra $\mathfrak X_B$, la prehaz $\mathcal I_B^{X,Y}:\underline B\to\textrm{Sets}$ es una gavilla en el sitio étale (grande) asociado a $B$. Aquí $\mathcal I_B^{X,Y}$ lleva un $B$-esquema $f:B'\to B$ al conjunto de isomorfismos $f^\ast X\cong f^\ast Y$ en $\mathfrak X_{B'}$).

Mi pregunta: ¿podemos decir que dar un stack es lo mismo que dar una gavilla de groupoides $\mathcal F:\mathfrak S\to Gpd$ en el sitio étale asociado a $S$?

Mis intentos. Haré un bosquejo de cómo comencé a demostrar que la respuesta es sí, y convencerme de que la respuesta es no.

Primero, dado $\mathcal F$, construimos una fibración de groupoides $\pi:\mathfrak X\to\mathfrak S$ por fibras, adjuntando $\mathfrak X_B:=\mathcal F(B)$ sobre $B\in\mathfrak S$. Luego necesitamos verificar $(i)$ y $(ii)$. Bien, detengámonos aquí por el momento.

Por otro lado, si tenemos $\pi$, podemos definir $\mathcal F$ por $\mathcal F(B):=\mathfrak X_B$ en objetos y por $\mathcal F(f:B'\to B)=(f^\ast:\mathfrak X_B\to\mathfrak X_{B'})$ en flechas. Parece ser natural. Detengámonos aquí.

En ambas direcciones, hay un problema: debo usar (o demostrar) la exactitud de la secuencia $$ \mathcal F(B)\to\prod_i\mathcal F(B_i)\rightrightarrows \prod_{i,j}\mathcal F(B_i\times_BB_j), $$ para $\{B_i\to B\}$ una cobertura de $B$. Pero ¿tiene sentido la exactitud en $Gpd$? Por ejemplo, ¿es $Gpd$ abeliano?

También me parece que $(i)$ no tiene nada que ver con la condición de gavilla: siento como si $(i)$ no me ayudara a demostrar nada cuando se asume, y no se puede demostrar al comenzar con $\mathcal F$.

Cualquier corrección/idea es bienvenida. ¡Gracias!

Answer 1

Si tenemos un manojo de grupoideos, entonces en particular el premanojo de objetos también debe ser un manojo. Así que una forma de mostrar que una pila no es solo un manojo de grupoideos es demostrar que el premanojo de objetos que ofrece no es un manojo.

En lugar de trabajar con sitios complicados como el gran sitio étale, permítanme construir un ejemplo para el sitio estándar de un único espacio topológico $X$. Considere la pila $\textbf{Pic}$ de fibrados sobre $X$: como una categoría fibred, sus objetos son pares $(U, L)$ donde $U \subseteq X$ es abierto y $L$ es un fibrado (real) sobre $U$, y sus morfismos son isomorfismos lineales por fibras. (Advertencia: La fibra $\textbf{Pic}(U)$ es un grupoideo, pero no es el grupo de Picard de $U$ en general!) Es un ejercicio estándar verificar que $\textbf{Pic}$ es una pila: esto equivale a mostrar que los fibrados se pueden pegar entre sí.

Para mayor conveniencia, asumimos que $\textbf{Pic}$ es esquelética, de modo que todos los isomorfismos en $\textbf{Pic}$ son automorfismos. Sea $\textrm{Pic}$ el premanojo que asigna a cada abierto $U \subseteq X$ el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados sobre $U$. Obviamente, $\textrm{Pic}$ es el premanojo de objetos de $\textbf{Pic}$. Ahora bien, $\textrm{Pic}$ no es un manojo en general: por definición, si $L$ es un fibrado sobre $X$ y $\mathfrak{U}$ es una cubierta abierta suficientemente fina de $X$, entonces $L$ retrocede a lo largo de $\mathfrak{U}$ al fibrado trivial; pero la banda de Möbius es un fibrado no trivial sobre $X = S^1$, por lo que en este caso vemos que $\textrm{Pic}$ ni siquiera es un premanojo separado.

Ahora, considere el manojo $\mathscr{O}_X^\times$ de funciones continuas no nulas (de valores reales) en $X$. Este es un manojo de grupos y da lugar a una categoría $\mathbf{G}$ fibreda en grupoideos sobre el sitio estándar de $X$ a través de la construcción de Grothendieck. Luego, $\textbf{G}$ no es una pila en general: nuevamente, para $X = S^1 \subseteq \mathbb{C}$, considere la cubierta abierta $\mathfrak{U} = \{ X \setminus \{ +1 \}, X \setminus \{ -1 \} \}$ y los datos de descenso inducidos por la evidente trivialización de la banda de Möbius sobre $\mathfrak{U}$. En este caso, el fallo de que $\textbf{G}$ sea una pila está directamente relacionado con la no trivialidad de $\check{H}^1 (X, \mathscr{O}^\times_X)$!

---

Anexo. De hecho, cada pila es "débilmente" equivalente a una pila fuerte, es decir, una que proviene de un manojo de grupoideos. Este es un resultado de Joyal y Tierney [Strong stacks and classifying spaces]. Lo que esto significa es un poco sutil: la definición de equivalencia "débil" es tal que cada (pre)manojo de grupoideos es "débilmente" equivalente a una pila fuerte.