Si binomio de expansión tiene por $(A+B)^n$, no se sigue que la $A$ ad $B$ viaje?

Question

Esta no es una tarea problema, pero mi interés.

Deje $A, B$ $2 \times 2$ matriz con todos los elementos reales. Es $AB=BA$ si $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$? También, la generalización para cualquier entero positivo $n$ es de agradecer.

Answer 1

No tengo idea de para el caso general, pero para cúbicos de energía, la respuesta es no. Aquí es un contraejemplo: $$ A=\pmatrix{0&1\\ 0&1},\ B=\pmatrix{1&-1\\ 2&-2},\ AB-BA=\pmatrix{2&-2\\ 2&-2}\ne0. $$ Tanto en $(A+B)^3$ $A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ son igual a $\pmatrix{1&0\\ 2&-1}$.