La convergencia a lo estable la ley

Question

Estoy leyendo el libro de A. N. Kolmogorov, Gnedenko B. V. Límite de las distribuciones de sumas de variables aleatorias independientes.

A partir de la teoría general no se sabe que si $X_i$ son simétricas yo.yo.d r.v tal que $P(|X_1|>x)=x^{-\alpha},\, x \geq 1$,$(X_1+\ldots+X_n)n^{-1/\alpha}\to Y$, donde c.f. de $Y$ es igual a $\varphi_Y(t)=e^{-c|t|^{\alpha}}, \alpha \in (0,2]$, lo $Y$ estable la ley de distribución.

Quiero ver sin usar que, en general, teoremas. Así que me pongo como el siguiente, $X_1$ tiene la densidad de distribución de $f_X(x)=|x|^{-\alpha-1}\alpha/2, |x|>1$. El uso de Levy teorema uno tiene que demostrar que $\varphi^n_{X_1}(t/n^{1/\alpha})\to \varphi_Y(t),\, n \to \infty$ para todos los $t\in \mathbb R$. $$\varphi_{X_1}(t/n^{1/\alpha})=\int_{1}^{\infty}\cos(tx/n^{1/\alpha})\alpha x^{-\alpha-1}\,dx,$$ for all it is evident that $t$ $\varphi_{X_1}(t/n^{1/\alpha})\1, n \to \infty$ so we have indeterminate form $1^\infty$.

Así que vamos a encontrar la $n(\varphi_{X_1}(t/n^{1/\alpha})-1)$, pero $\varphi_{X_1}(t/n^{1/\alpha})\sim 1+1/2(2txn^{-1/\alpha})^2$, y sólo puedo decir algo acerca de la $\alpha=2$ y me quedé atrapado aquí. Tal vez, he cometido un error en alguna parte.

Podría por favor ayudarme? Gracias.

Answer 1

El problema es, en realidad, no es tan difícil como yo pensaba. Nota, que es suficiente para probar que $\varphi(t)=1-Ct^{\alpha}+o(t^{\alpha}),t \to 0+$. En primer lugar, puedo hacer la sustitución de $y=tx$$\int_{1}^{\infty}\cos(tx)\alpha x^{-\alpha-1}\,dx=t^{\alpha}\int_{t}^{\infty}\cos (y) \alpha y^{-\alpha-1}\,dy$. La integración por partes me da que la última es igual a $\cos t-t^{\alpha}\int_{t}^{\infty}\sin y y^{-\alpha}\,dy=1-C t^{\alpha}+o(t^{\alpha})$, y es un aspecto crucial que $\alpha \in (0,2]$ a escribir la última igualdad, aquí $C=\int_{0}^{\infty}\sin y y^{-\alpha}\, dy$. Por lo tanto, hemos terminado.

Answer 2

Yo yr integral de hacer el cambio de variables $z = \frac y {n^{\frac 1 {\alpha}}}$. Esto trae un factor de $\frac 1n$ frente. La escritura $cos(tz) = 1 + (cos(tz) -1)$. Integrar el 1 de manera explícita, y la integral invlving $cos(tz)-1$ converge porque es bueno en cero.