Si $q(x)=x^2+1$, no $q^{\circ 1/2}$ existen?

Question

He estado haciendo un montón de investigación sobre el funcional de media iteración, y se me planteó la siguiente pregunta a mí mismo:

Considere la función $q:\mathbb R\mapsto\mathbb R$ se define como $$q(x)=x^2+1$$ Qué $q^{\circ 1/2}$ existen? Hace un continuo $q^{\circ 1/2}$ existen? ¿Qué acerca de un diferenciable $q^{\circ 1/2}$?

A mí me parece que $q^{\circ 1/2}$ existe, pero no sé cómo demostrar que existe (desde luego no la puede encontrar, ya que es probable que no sea una escuela primaria de la función). Hasta ahora, he comprobado que, si existe y es continua, entonces debe ser acotada entre $x$$q(x)$. Mi intuición me dice que una diferenciable solución probablemente existe... pero no puede ser diferenciable en a $x=0$. He trabajado a cabo un "casi-gráfico" de una posible solución, pero está lejos de ser una rigurosa prueba:

Alguna idea sobre cómo atacar este problema rigurosamente?

Answer 1

Puedo afirmar que existe una continua $f$ tal que $f \circ f = q$.

Definir de forma recursiva $a_0 = 0$, $a_1 = 1/2 < 1 = q(a_0)$, y $a_{n+2} = q(a_{n})$.
Ahora empieza por tomar $f$ a ser una función creciente de $[0,a_1]$ a $[a_1,a_2]$, y definir $f$ $[a_n,a_{n+1}]$ $n \ge 1$ $f(x) = t^2+1$ donde $x = f(t)$. Para el negativo $x$ definimos $f(-x) = f(x)$.

Si $f(x) \sim 1/2 + \alpha x^2$ cerca de $x=0$, querremos $f'(1/2) = 1/\alpha$ hacer $f$ diferenciable. Así, uno posibilidad es$f(x) = 1/2 + (2-\sqrt{3}) x^2 + 4 \sqrt{3} x^4$$0 \le x \le 1/2$.

Por otro lado, si no me equivoco, una analítica $f$ parece no ser posible.