La desigualdad que involucra valores absolutos y raíces cuadradas

Question

Yo podría utilizar un poco de ayuda con lo que demuestra esta desigualdad:

$$\left|\,x_1\,\right|+\left|\,x_2\,\right|+...+\left|\,x_p\,\right|\leq\sqrt{p}\sqrt{x^2_1+x^2_2+...+x^2_p}$$ para todos los números naturales p.

Aparte de demostrar la verdad de la declaración en sí, aparentemente $\sqrt{p}$ es el menor valor posible por que el lado derecho de la raíz cuadrada de la expresión debe ser multiplicado por en orden para que la expresión sea verdadera. He probado varias maneras de hacer esto, y he tratado de alejarse de la inducción, porque no estoy seguro de que es lo que el ejercicio fue diseñado para (de Bartle Elementos de Análisis Real), pero los mejores que he sido capaz de llegar con está demostrando que la afirmación es verdadera cuando el lado derecho de la raíz cuadrada de la expresión se multiplica por p, que parece bastante obvio de todos modos. Me siento como que estoy mirando directamente a la respuesta y todavía no lo puede ver. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Esta es una aplicación de la Desigualdad de Jensen: $$ \left(\frac1p\sum_{k=1}^p|x_k|\right)^2\le\frac1p\sum_{k=1}^p|x_k|^2 $$ desde $f(x)=x^2$ es convexa.

Answer 2

Me imagino que las dos posibles formas de resolver esto: con la ayuda de la QM-SOY la desigualdad, y con Cauchy-Schwarz desigualdad.

El uso de la QM-SOY la desigualdad, vemos que: $$\frac{|x_1|+|x_2| +... + |x_p|}{p} \le \sqrt{\frac{|x_1|^2+|x_2|^2 +... + |x_p|^2}{p}}$$ Multiplicando ambos lados por $p$: $$\begin{align}|x_1|+|x_2| +... + |x_p| &\le p\sqrt{\frac{|x_1|^2+|x_2|^2 +... + |x_p|^2}{p}}\\ &=\sqrt{p}\sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 +... + |x_p|^2}\\ &=\sqrt{p}\sqrt{x_1^2 + x_2^2 +... + x_p^2}\end{align}$$

demostrando la deseada declaración.

El uso de la alternativa de Cauchy-Schwarz desigualdad (que realmente es, en cierto sentido, una generalización de la QM-AM-GM-HM desigualdades), obtenemos :

$$(|x_1|\cdot1 + |x_2|\cdot1 +...+|x_p|\cdot1)^2 \le (|x_1|^2 + |x_2|^2 +... + |x_p|^2)(\underbrace{1 + 1 + ... + 1}_\text{$p$})$$ o: $$(|x_1|+|x_2| +... + |x_p|)^2 \le (|x_1|^2 + |x_2|^2 +... + |x_p|^2)(p)$$

Tomando raíces cuadradas de ambos lados, obtenemos : $$|x_1|+|x_2| +... + |x_p| \le \sqrt{p}\sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 +... + |x_p|^2}$$

Pero ya sabemos que para todo real $x$, $|x|^2 = x^2$, podemos reducir este:

$$|x_1|+|x_2| +... + |x_p| \le \sqrt{p}\sqrt{x_1^2 + x_2^2 +... + x_p^2}$$