Es cada monomorphism conmutativa de álgebras de Hopf (más de un campo) inyectiva?

Question

Es cierto que cualquier monomorphism conmutativa de álgebras de Hopf sobre un campo es inyectiva? Por otra parte, es cierto que cualquier epimorphism conmutativa de álgebras de Hopf sobre un campo es surjective?

Answer 1

No. La categoría de conmutativa álgebras de Hopf sobre un campo es opuesta a la categoría de grupo afín esquemas, de manera que su pregunta es "es cada epi de afín $k$-grupo de planes de surjective?" Pero hay mapas de grupos finitos que son epis, pero no surjective (esto sucede cuando la imagen normal de cierre de todo el grupo), por ejemplo la inclusión de una transposición a $S_3$.

Me imagino que cada epi en conmutativa álgebras de Hopf es surjective. Ciertamente, uno no se puede construir un ejemplo de grupos finitos. Yo podría estar olvidando algo de comicidad sobre el grupo de los esquemas.

Answer 2

Parece que Ben es oportuno que la respuesta a la primera pregunta es "NO". Deje $G=SL(2,\Bbb C)$, e $B$ ser el subgrupo de menor matrices triangulares. A continuación, la inclusión $B\to G$ es un epi, ya que cada representación algebraica de $B$ que se extiende a $G$ lo hace de forma exclusiva (en la nariz, no depende solo de un isomorfismo!). Esto se deduce del hecho de que en cualquier finito dimensionales representación $V$ de la Mentira álgebra $sl(2)$, el operador $e$ está determinado por $f$$h$. De hecho, el kernel $K$ $e$ es generado por los vectores $v$ satisfacción $hv=mv$ $f^{m+1}v=0$ para algunos entero $m\ge 0$, y desde $V=\Bbb C[f]K$, el operador $e$ $V$ está determinada únicamente.

Así, uno podría adivinar que un morfismos de complejo afín algebraica de los grupos de $\phi: H\to G$ es un epi si y sólo si $G/\phi(H)$ está conectado y en correcto (pero yo no).

Answer 3

No he leído todavía pero el siguiente trabajo de Chirvasitu parece responder a su segunda pregunta y discute estrechamente relacionados con los problemas. Véase la discusión en la página 7 después de la Proposición 2.5.

http://arxiv.org/abs/0907.2881

Es decir, un epimorphism de álgebras de Hopf sobre un campo $$f : H \longrightarrow K$$ es necesariamente surjective si $K$ es conmutativa.

Answer 4

Sí, la categoría de la propiedad conmutativa álgebras de Hopf sobre k es antiequivalent a la categoría de (pro-)afín grupo de esquemas sobre k, pero esta equivalencia no respetar la obvia functors a (Set). Yo en realidad quería decir inyectiva como mapas entre álgebras, no entre el máximo del espectro, el primer espectro o de puntos racionales.