Asymptotics de afirmar polinomios

Question

Deje que la secuencia de $u_1, u_2, \ldots$ satisfacer $u_{n+1} = u_n - u_n^2 + O(u_n^3)$. Entonces se puede demostrar que si $u_n \to 0$$n \to \infty$,$u_n = n^{-1} + O(n^{-2} \log n)$. (Ver N. G. de Bruijn, Asintótica de los métodos de análisis, en la Sección 8.5.)

Esto puede ser usado para obtener asymptotics para $v_{n+1} = Av_n - Bv_n^2 + O(v_n^3)$ donde $A$ $B$ son constantes. Deje $w_n = A^{-n} v_n$; esto da $$ A^{n+1} w_{n+1} = A^{n+1} w_n - B A^n w_n^2 + O(A^n w_n^3)$$ y así $$ w_{n+1} = w_n - BA^{-1} w_n^2 + O(w_n^3). $$ A continuación, vamos a $w_n = Ax_n/B$ para obtener $$ Ax_{n+1}/B = Ax_n/B - B/A \cdot (Ax_n/B)^2 + O(x_n^3) $$ y después de la simplificación $ x_{n+1} = x_n - x_n^2 + O(x_n^3)$. Esto satisface los requisitos iniciales para $u_n$ (con algunas comprobación de la condición lado); a continuación, sustituya.

Pero decir que en realidad saber que $u_{n+1} = P(u_n)$ para algunos polinomio $P$, $P(z) = z - z^2 + a_3 z^3 + \cdots + a_d z^d.$ En este caso parece que no debería ser posible para obtener más información explícita acerca de $u_n$. Hay un conocido algoritmo para el cálculo de una serie asintótica para$u_n$$n \to \infty$?

Answer 1

Como se explicó anteriormente 002, resolviendo la ecuación de Abel es de hecho la clave. Usando el lenguaje de holomorphic dinámica, la gente diría que son el estudio de la dinámica de un polinomio cerca de la parabólica, punto fijo $z=0$. Por un simple cambio lineal de variables, el estudio de cualquier parabólico punto fijo puede ser reducida al estudio de la $z \mapsto z+z^{2}+O(z^3)$. A continuación, puede aplicar otro cambio $w=-\frac{1}{z}$. Por lo que se reduce al estudio de la $f(w)=w+1+O(1/w)$. Si la parte real $Re(w)$ es lo suficientemente grande como usted obtendrá $f^{n}(w)=w+n+O(\log n)$. Esto le dará lo que quiere (al volver a la z-variable).

El dominio $Re(w)>R$ (para $R$) se parece a algún tipo de cardioide (en su caso) cuando se visualiza en la z-variable (es poéticamente llamado la atracción de pétalo). Todo este material está explicado en detalle en varios libros. Un gran ejemplo es el libro de John Milnor en una dinámica Compleja. Aquí está una libre (anteriores) versión: http://www.math.sunysb.edu/cgi-bin/preprint.pl?ims90-5

Así que en resumen, las palabras clave que usted debe buscar son: parabólico de punto fijo, Fatou coordenadas, Leau-Fatou flor teorema (la última describir a los "pétalos")...

Answer 2

Has probado el método de la sección 8.7, es decir, resolviendo la ecuación de Abel $\phi(P(x))-\phi(x)=1$? Aquí nos esperan $\phi(t)=t^{-1}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n t^n$, y usted puede encontrar los coeficientes de $\phi$ uno por uno. Por ejemplo, tomé $P(x)=x-x^2+x^3+x^4$ e inmediatamente encontró $c_1=-2$, $c_2=-5/2$, $c_3=-7/2$, $c_4=-17/4$... No es una fórmula general, pero usted puede conseguir tantas condiciones como se desee para un determinado $P$.