Cómo determinar el límite de esta sucesión?

Question

Me preguntaba cómo determinar el límite de$ (n^p - (\frac{n^2}{n+1})^p)_{n\in \mathbb{N}}$$p>0$$n \to \infty$?

Por ejemplo, cuando se $p=1$, la secuencia es $ (\frac{n}{n+1})_{n\in \mathbb{N}}$, por lo que su límite es $1$.

Pero no estoy seguro de cómo decidir cuando $p \neq 1$. Gracias de antemano!

Answer 1

Podemos escribir $$a_n=n^p\left(1-\left(1-\frac 1{n+1}\right)^p\right)=n^p\int_{1-\frac 1{n+1}}^ 1pt^{p-1}dt.$$ Si $p>1$, el mapa de $t\mapsto t^{p-1}$ está aumentando, por lo $a_n\geq n^pp\left(1-\frac 1{n+1}\right)^{p-1}\frac 1{n+1}$ que converge a $+\infty$ e si $0<p<1$ $a_n\leq n^pp\left(1-\frac 1{n+1}\right)^{p-1}\frac 1{n+1}$ que converge a $0$.

Answer 2

El uso de $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \mathcal{O}(x^2)$ pequeña $x$, obtenemos

$$n^p - \left(\frac{n^2}{n+1}\right)^p = n^p\left(1 - \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\right)^p\right) = n^p\left(1 - \left(1 - \frac{1}{n} + \mathcal{O}(n^{-2})\right)^p\right) = n^p\left(1 - 1 + \frac{p}{n} + \mathcal{O}(n^{-2})\right) = p n^{p-1} - \mathcal{O}(n^{p-2}) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \begin{cases} \infty, & p > 1 \\ 1, & p = 1 \\ 0. & p < 1\end{cases}$$

Answer 3

Dado el teorema del Binomio, se tiene (ver Landau notaciones)

$$\begin{array}{} (n+1)^p-n^p=\Theta(n^{p-1}) & \implies 1-\left(\frac{n}{n+1}\right)^p=\Theta \left( \frac{1}{n} \right) \\ & \implies n^p - \left(\frac{n^2}{n+1}\right)^p=\Theta(n^{p-1}) \end{array}$$

Por lo tanto, el límite es de $0$ $p<1$ $1$ $p=1$ (ya calculado), y vuela a$\infty$$p>1$.

Answer 4

Por Lagrange del teorema, hay un $\xi_n\in(0,1)$ por cada $n\in\mathbb N$ tal que $(n+1)^p-n^p=p(n+\xi_n)^{p-1}$, por lo tanto tenemos:

$$n^p -\left(\frac{n^2}{n+1}\right)^p = \frac{n^p((n+1)^p-n^p)}{(n+1)^p}=\frac{n^pp(n+\xi_n)^{p-1}}{(n+1)^p}=p\left(\frac{n}{n+1}\right)^p(n+\xi_n)^{p-1}.$$

Ahora, para cualquier $p\in(0,\infty)$, la expresión $\left(\frac{n}{n+1}\right)^p$ convergerán a $1$. Para $p>1$, la expresión $(n+\xi_n)^{p-1}$ convergerán a $+\infty$ $p\in(0,1)$ convergerán a $0$. Así que su expresión original también convergen a$+\infty$$0$, respectivamente, en estos dos casos.

Answer 5

Pidiendo a Wolfram|Alpha, obtendrá una serie de $n=\infty$: $$ n^p\left( \frac{p}{n}+O(1/n^2) \right), $$ así va a $\infty$ $p>1$ y converge a$n^{p-1}p\to 0$$0\le p<1$.