Consecuencia Lógica

Question

Para arbitrario fórmulas de $A,B,C$ sostiene que:

1. $\{A,B\} \vDash C $ si $A \vDash (B \Rightarrow C)$
2. $(A \Rightarrow B) \vDash C$ si $A \vDash (B \Rightarrow C)$
3. $A \vDash C$ si $A \vDash (B \Rightarrow C)$

Sé que sólo uno tiene, me puede alguien explicar por qué?

Answer 1

Este es un enfoque:

1. Tenga en cuenta que trivialmente $\vDash p \to p$, por lo que a fortiori $p \vDash p \to p$. Pero $p \to p \nvDash p$ (supongamos $p$ es falso). De modo que podemos tener una instancia de $A \vDash B \to C$ sin el correspondiente $A \to B \vDash C$.

2. Tenga en cuenta que trivialmente $\vDash q \to q$, por lo que a fortiori $p \vDash q \to q$. Pero, por supuesto,$p \nvDash q$. De modo que podemos tener una instancia de $A \vDash (B \Rightarrow C)$ sin el correspondiente $A \vDash C$.

Answer 2

La forma canónica para mostrar que los dos últimos implicaciones no mantenga sería encontrar fórmulas que se pueden conectar para $A$, $B$ y $C$, de tal manera que la vinculación a la derecha del "si" es lógicamente válido, pero la de la izquierda, no lo es.

Por ejemplo, trate de configurar $B\equiv P$, $C\equiv Q$ y $A\equiv (P\Rightarrow Q)$ donde $P$ $Q$ son variables proposicionales.

Answer 3

Número 3 Debe ser bastante obvio:

A entails (B implies C) 

Que, en inglés, se convierte en:

A entails C or A entails not B

El número 2 es un poco más complejo. Los valores de falla por se $A, ¬B, ¬C$.