¿Hay una explicación para los patrones formados por lo coeficientes binómicos C(n+d-1,d) mod 512?

Question

Simplicial secuencias de generalizar el familiar "lineal", "triangular", y "tetraedro" número de secuencias. (Un segmento de línea es un 1-simplex, un triángulo es un 2-simplex, un tetraedro es un 3-simplex, y así sucesivamente, por lo que voy a llamar a estos simplicial de secuencias.)

En general, el n-ésimo d-simplicial número es el coeficiente binomial C(n+d-1,d).

Las fotos de abajo muestran de forma gráfica el n-ésimo elemento (modulo de 512) de 512 simplicial secuencias de lado a lado. Los puntos blancos en un determinado frame tiene coordenadas (d,C(n+d-1,d) mod 512), donde d se ejecuta a partir de la 0 a 511, y el valor de n se muestra en la parte inferior del diagrama.

También, si usted está utilizando un "navegador moderno" (es decir, no IE6,7,8), se puede ver una animación se ejecuta a través de todos los valores de n en el siguiente enlace. La animación le permite iniciar y detener, e incluso guardar fotogramas individuales.

Si usted mira la animación, verás que binaria visual de los patrones emergen en forma de rosca a través de la imagen y el aumento y la disminución en la fuerza. Las imágenes de abajo para n=5 y n=256 indican los extremos .. para n=5 los puntos de mira distribuidos al azar, para n=256 están fuertemente modelada.

Así que mi pregunta es si existe algún tipo de explicaciones para la aparición y desaparición de visual patrones binarios como nos recorrer n.

Answer 1

Teorema (Kummer): el mayor poder de La $p$ dividiendo ${m+n \choose n}$ es el número de carreras que se necesita para agregar $m$ $n$ base $p$.

En particular, el mayor poder de la $2$ dividiendo ${n+d-1 \choose d}$ es el número de carreras que se necesita para agregar $n-1$ $d$ base $2$, y así depende enteramente de los dígitos binarios de ambos $n-1$$d$. (Al $n = 256$, por ejemplo, probablemente hay un montón de carreras, que es la razón por la posición de los puntos es tan limitado en ese caso. Más en general, el mismo que ocurre cuando $n-1$ tiene un montón de $1$s en su representación binaria.)

El teorema anterior pone un fuerte restricción en donde los puntos blancos puede ser, que creo que será más clara visualmente si la trama de las cosas en la forma de triángulo de Pascal , en lugar de lo que sea que estés haciendo ahora (por ejemplo, $\bmod 2$ obtendrá el triángulo de Sierpinski. Más en general, creo que usted debe intentar trazar las entradas de triángulo de Pascal $\bmod 512$ cuando el módulo determina el color de un bloque. Esto no va a ser una animación, pero le permitirá consolidar todos los patrones que están viendo en una imagen que creo que al final será más clara).

Ver también Lucas teorema para una explicación parcial de los patrones en la exacta resto $\bmod 512$.