No se puede calcular

Question

Me encontré con el integral $$ \int_0^1 \frac{-\log x} {1 + x} \ \mathrm dx = \frac{\pi^2}{12}, $$ que puede ser calculado como $\frac 1 2 \zeta(2)$ usando teoría analítica del número.

¿Estoy interesado si esta integral se puede calcular en cualquier otra manera interesante, posiblemente más elemental?

Answer 1

Integración por parte, llegar a

$$-\text{Li}_2(-x)-\log (x) \log (x+1)$$

y, con sus límites, el resultado es $\frac{\pi ^2}{12}$

Answer 2

Basta con ampliar la pieza de $1/(1+x)$ en su serie geométrica equivalente y obtener

$$-\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^1 dx \, x^n \log{x}$$

Se puede demostrar usando integración por las piezas que la integral en la suma es simplemente $-1/(n+1)^2$. El resultado es simplemente

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = \frac{\pi^2}{12}$$