Ceros de una Función Particular

Question

Estoy buscando los ceros de $f(k) = e^{\sqrt{k}}[\frac{s}{k} - \frac{d}{\sqrt{k}}] - 1$ en el conjunto $k > 0$. ¿Hay alguna manera fácil de describir el conjunto de soluciones para un $s$ y $d$ dados? ¡Gracias!

Answer 1

Cuando la relación $s/d$ es pequeña, podemos usar la fórmula de inversión de Lagrange (ver, por ejemplo, mi respuesta aquí) para resolver $e^x(s-dx) = x^2$ (según el comentario de Arturo) para $x$ como una serie de potencias en $s$ o $d:

$$\begin{align}x &= \frac{s}{d}-\frac{s^2}{d^3}+ \left(\frac{1}{d^4}+\frac{2}{d^5}\right) s^3-\left(\frac{1}{2 d^5}+\frac{5}{d^6}+\frac{5}{d^7}\right) s^4 + \cdots \\ &= \frac{s}{d}-\frac{s^2}{d^3}+\frac{s^3}{d^4}+\frac{4 s^3-s^4}{2 d^5} -\frac{30 s^4-s^5}{6 d^6} + \cdots\end{align}$$

Sustituyendo $x$ por $\sqrt{k}$ entonces producirá soluciones al problema original.

Si $s$ y $d$ están relacionados de alguna manera, entonces quizás se podrían obtener estimaciones más apropiadas.