Una pregunta sobre Jacobi sumas

Question

Estoy tratando de trabajar a través de Irlanda y Rosen Número del libro de la teoría. Siguiente es ex. 26, ch.8(Gauss y Jacobi sumas).

Deje $p$ ser una de las primeras. $p\equiv 1\mod{4}$, $\chi$ un multiplicativo carácter de orden 4 en $F_{p}$, e $\rho$ el símbolo de Legendre. Poner $J(\chi,\rho)=a+bi$. Mostrar

1.) $N(y^2=1-x^4)=p+\sum \rho(1-x^{4})$

2.) $2a\equiv -(-1)^{(p-1)/4}(^{2m}_{m})(p)$ donde $m=(p-1)/4$

Yo no soy un matemático, así que me resulta difícil muchas veces de uso abstracto de la teoría para resolver problemas concretos(suponiendo que entiendo la teoría en el primer lugar!). Me gustaría ver cómo solucionar uno de ellos(o ambos) de los problemas y al menos una sugerencia para el otro, ya que no estoy seguro de cómo proceder con estos problemas. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Para un determinado $x$, el número de soluciones de $y^2=1-x^4$ $2$ si $1-x^4$ es un cuadrado, $0$ si no lo es.

$\rho(1-x^4)$ $1$ si $1-x^4$ es un cuadrado, $-1$ si no lo es.

Así que para un determinado $x$, $1+\rho(1-x^4)$ es el número de soluciones de $y^2=1-x^4$.

Ahora suma de todos los $x$. Nota: he arrastrado un poco de caso bajo la alfombra, al $1-x^4=0$. Se deja como ejercicio para el lector.

Answer 2

Tenemos el hecho de que la suma de las potencias, $j\ge0$, $$ S(j)=\sum_{x=0}^{p-1}x^j $$ es $\equiv 0\pmod{p}$, a menos que $j$ es positivo y divisible por $(p-1)$, y en este último caso tenemos $S(j)\equiv -1\pmod{p}$. Esto se deduce del hecho de que cuando se $j>0$, la no-cero términos se pueden reordenar (según el orden ascendente de los poderes de una raíz primitiva) a la forma geométrica de la suma de $p-1$ términos. Modulo $p$ de una suma es de todos, o de la suma de un conjunto completo de raíces de la unidad de la orden de dividir un número entero $d\mid p-1$. En el último caso la suma es congruente a cero modulo $p$.

Otro dato que tenemos es el de la congruencia (fórmula de Euler) $$ \rho(x)\equiv x^{(p-1)/2}\pmod p. $$

Tenemos que calcular el residuo de la clase modulo $p$ de los caracteres de suma $$ S=\sum_{x=0}^{p-1}\rho(1-x^4)\equiv\sum_{x=0}^{p-1}(1-x^4)^{\frac{p-1}2}. $$ Aquí $(p-1)/2=2m$. Por la fórmula binominal $$ (1-x^4)^{2m}=\sum_{j=0}^{2m}(-1)^j{2m\elegir j}x^{4j}. $$ Suma más de $x$ tenemos $$ S\equiv\sum_{j=0}^{2m}(-1)^j{2m\elegir j}S(4j). $$ Aquí $S(4j)$ es distinto de cero modulo $p$ solamente, cuando $j= m$ o $j=2m$. Unir las piezas conseguimos $$ S\equiv(-1)\left((-1)^m{2m\elegir m}+1\right). $$ El reclamo sigue de esto y, sin embargo, otra parte de este ejercicio indica que $$ N(y^2+x^4=1)=p-1+2a. $$

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La afirmación de que parte del ejercicio se deriva de la misma manera como los otros, las relaciones entre Jacobi sumas y los números de $N(x^n+y^m=1)$ en este capítulo, a saber: $$ N(y^2+x^4=1)=\sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^1 J(\chi^i,\rho^j). $$