¿Cuál es realmente la definición moderna de los espacios euclidianos?

Question

¿Cuál es la definición moderna de Espacios euclidianos ?

Leo el artículo de Wikipedia sobre el tema pero sigo sin entenderlo.

Es un espacio euclidiano

1. ¿algo que satisfaga los axiomas tradicionales de Euclides, o los axiomas de Hilbert?

2. ¿o se define como un espacio de producto interno?

3. ¿o se define como un conjunto en el que podemos definir de alguna manera la noción de "longitud" y "ángulo"?

4. ¿o se define como un espacio afín?

Si un espacio euclidiano se define como en el caso 2 (es decir, como un espacio de producto interno), ¿seguimos necesitando los axiomas de Euclides o los de Hilbert?

Por ejemplo, hay un axioma de Hilbert

Para cada dos puntos A, B existe una recta a que contiene a cada uno de los puntos A, B.

pero en términos de la terminología del espacio del producto interior, se puede demostrar directamente mediante una técnica trivial de precálculo, ¿no?

Answer 1

1. Esto no se utiliza mucho hoy en día.

2. Más concretamente, se trataría de un espacio de producto interno real de dimensión finita .

3. Esto no es lo suficientemente específico. Se trata de la noción de Colector riemanniano e incluye los espacios euclidianos como casos especiales. La esfera en $\mathbb{R}^3$ es un ejemplo de colector riemanniano que no es un espacio euclidiano.

4. Un espacio euclidiano es, en particular, un espacio afín y todo espacio afín puede tener la estructura de un espacio euclidiano (eligiendo un origen y un producto interno). Pero un espacio afín no viene con esta estructura.

Ahora bien, depende del contexto y del campo de las matemáticas en el que se trabaje. Mucha gente lo ve como en 2 pero otros tienen el punto de vista de que los espacios euclidianos no tienen un origen distinguido. En ese caso estaría más cerca de 3 y 4, o más exactamente, diríamos que es un espacio afín con una métrica plana de Riemann. O de forma similar, una terminología común en geometría diferencial es:

5. $\mathbb{R}^n$ con la métrica plana.