Mi pregunta surgen de este artículo: Borde superconductor de correlación en la atractiva-U Kane-Mele-modelo de Hubbard. Voy a describir mi pregunta en detalle, de modo que usted no necesite buscar en ese artículo. Lo que quiero pedir ayuda es una manera fácil de obtener el número de electrones de la ecuación, puede ser el uso de algunas relaciones termodinámicas igual de cómo me derivar la brecha de la ecuación.
El Hamiltoniano en cuenta es el mono-capa de grafeno con intrínseco PARA la interacción, además de la negativa U Hubbard plazo. Después de la media de la aproximación de campo con la onda S parámetro de orden superconductor, se obtiene la media de campo Hamiltoniano:
$$ H=\sum_k\phi_k^\daga H_k\phi_k+E_0 $$
donde $\phi_k$ es la Nambu spinor $\phi_k^\dagger=(a_{k\uparrow}^\dagger, b_{k\uparrow}^\dagger, a_{-k\downarrow}, b_{-k\downarrow})$, $E_0=2N\Delta^2/U$, $N$ es el número de la celda unidad, y
$$ H_k=\begin{pmatrix} \lambda_k-\mu & -t\gamma_k & -\Delta & 0 \\ -t\lambda_k^* & -\lambda_k-\mu & 0 & -\Delta \\ -\Delta^* & 0 & -\lambda_k+\mu & t\gamma_k \\ 0 & -\Delta^* & t\gamma_k^* & \lambda_k+\mu \end{pmatrix} $$
El $\mu$ es el potencial químico en el original Hubbard plazo, $-t\gamma_k$ es la suma de los grafeno salto integral de vecinos, $\gamma_k$ es de TAN plazo. Podemos simplemente ignorar su significado físico, y respecto de ellos como algunos parámetros, que no son muy importantes para mi pregunta.
Diagonalizing $H_k$, tenemos cuatro autovalores, $\omega_{ks\alpha}=\alpha\omega_{ks}=\alpha\sqrt{(\epsilon_k+s \mu)^2+\Delta^2}$ $\epsilon_k=\sqrt{\lambda_k^2+t^2|\gamma_k|^2}$ donde$s,\alpha$$\pm 1$.
Ahora tenemos brecha de la ecuación de electrones y el número de la ecuación: $$ \frac{1}{U}=\frac{1}{4N}\sum_{sk}\frac{\tanh{(\beta\omega_{sk}/2)}}{\omega_{sk}} $$ $$ n_e-1=-\frac{1}{N}\sum_{sk}\frac{s\epsilon_k -\mu}{\omega_{sk}}\tanh(\beta \omega_{sk}/2) $$ donde $n_e$ es el promedio del número de electrones en un sublattice.
El siguiente es cómo me derivar la brecha de la ecuación de la energía libre es: $$ F=-\frac{1}{\beta}\sum_{ks\alpha}\ln{(1+\mathrm{e}^{-\beta\omega_{ks\alpha}})}+\frac{2N\Delta^2}{U} $$ la energía libre se minimiza cuando se $\Delta$ optan por tener su verdadero valor, es decir, el uso de $\partial F/\partial \Delta=0$ podemos derivar la brecha de la ecuación que muestra arriba.
¿Cómo puedo derivar el número de electrones de la ecuación? Sé que, en principio, que pueda derivar por la representación de la original electrónica de los operadores, en lugar de la diagonalized Bogoliubov cuasi-partícula de los operadores, pero esto es demasiado complicado, incluso uno tratando de obtener de ellos el uso de Mathematica.
Así que, tal como he dicho al principio de esta pregunta:necesito su ayuda para conseguir una fácil manera para obtener el número de electrones de la ecuación, puede ser el uso de algunas relaciones termodinámicas igual de cómo me derivar la ecuación de la brecha
