Cómo convertir $\pi$ a base 16?

Question

Selon este artículo de Wikipedia $\pi$ es aproximadamente 3,243F en base 16 (es decir, hexadecimal).

¿Puede alguien explicar esto? (Nota: entiendo cómo convertir un entero a base 16)

Gracias

Answer 1

Una forma de convertir cualquier fracción decimal a base $16$ es la siguiente (tomando $\pi$ como ejemplo). $$\pi=\color{blue}3.141592...$$

Toma la parte del número entero y conviértelo a base $16$ como siempre. En este caso $\color{blue}3$ se mantendrá como $3$ . Así que hasta ahora hemos conseguido $3.14159..._{10}=\color{red}{3...._{16}}$

Esto nos deja ahora con $0.141592...$ - Multiplique esto por nuestra nueva base para obtener $$\color{red}{16}\times0.14159...=\color{blue}2.26544...$$ Ahora volvemos a convertir la parte del número entero a nuestra nueva base, como es habitual, en este caso el $\color{blue}2$ permanece como $2$ . Así que hasta ahora hemos conseguido $3.14159..._{10}=\color{red}{3.2..._{16}}$

Esto nos deja ahora con $0.26544...$ - Multiplique esto por nuestra nueva base para obtener $$\color{red}{16}\times0.26544...=\color{blue}4.24704...$$ Ahora volvemos a convertir la parte del número entero a nuestra nueva base como es habitual, en este caso el $\color{blue}4$ permanece como $4$ . Así que hasta ahora hemos conseguido $3.14159..._{10}=\color{red}{3.24..._{16}}$

Esto nos deja ahora con $0.24704...$ - Multiplique esto por nuestra nueva base para obtener $$\color{red}{16}\times0.24704...=\color{blue}3.95264...$$ Ahora volvemos a convertir la parte de los números enteros a nuestra nueva base, como es habitual, en este caso la $\color{blue}3$ permanece como $3$ . Así que hasta ahora hemos conseguido $3.14159..._{10}=\color{red}{3.243..._{16}}$

Puede continuar este proceso para tantos dígitos como necesite.

Answer 2

Tenga en cuenta que: $$10000\pi=31415.92653\dots$$ lo que significa que la versión decimal de $\pi$ comienza $3.1415\dots$ .

De la misma manera: $$16^4\pi=205887.46145\dots$$ Desde $205887$ es $3243F$ en hexadecimal, la versión hexadecimal comienza $3.243F\dots$ .

Answer 3

Para la base particular de $16$ hay este notable fórmula : $$\pi=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\frac{1}{16^n}$$ Permite el cálculo de cualquier dígito de base 16 de $\pi$ sin necesidad de calcular todos los dígitos anteriores.

El descubrimiento de esta fórmula por parte de Bailey, Borwein y Plouffe en 1995 supuso una gran sorpresa, ya que se conjeturaba que no podía existir tal fórmula.