Problema: Si $\sum a_n$ converge, y si $\{b_n\}$ es monótona y acotada, demostrar que $\sum a_n b_n$ converge.
Mi intento: Las sumas parciales de $\sum a_n$ forma de un almacén de secuencia (si no $\sum a_n$ no convergen). También, $\{b_n\}$ converge a algún límite $b$. Supongamos $\{b_n\}$ es monótona decreciente (la prueba es similar en otro caso). Entonces $\forall n$, $b_n - b \geq 0$. Set $c_n = b_n - b$. A continuación, $\{c_n\}$ es monótona decreciente y $\lim_{n\to\infty}c_n = 0$.
Teorema 3.42 en el Bebé Rudin: Supongamos que (a) las sumas parciales de $\sum a_n$ forma una secuencia delimitada; (b) $b_0 \geq b_1 \geq b_2 \geq \cdots$; (c) $\lim_{n\to\infty}b_n = 0.$ $\sum a_n b_n$ converge.
Por lo $\sum a_n c_n$ converge. $\sum a_n c_n = \sum a_n (b_n - b) = \sum a_n b_n - \sum a_n b$ , por lo que $$\sum a_n b_n = \sum a_n c_n + b\sum a_n.$$ As the sum of convergent series, $\suma a_n b_n$ converge.
Por favor, señale los errores. Gracias de antemano :)
