La compacidad y las topologías estrictamente finas.

Question

Si $(A,\tau{_1})$ es un espacio Hausdorff compacto y $\tau{_2}$ es una topología estrictamente más fina en $X$ , puede $(A, \tau_{2})$ ser compacto?

Answer 1

Considere el mapa de identidad $e$ de $\langle A,\tau_2\rangle$ a $\langle A,\tau_1\rangle$ . Desde $\tau_2\supseteq\tau_1$ , $e$ es continua. Como $\tau_2\supsetneqq\tau_1$ hay un conjunto $K\subseteq A$ tal que $K$ está cerrado en $\tau_2$ pero no en $\tau_1$ . Si $\langle A,\tau_2$ eran compactos, $K$ sería compacto en $\tau_2$ y como $e$ es continua, $K=e[K]$ sería compacto en $\tau_1$ . Pero $K$ no es $\tau_1$ -cerrado, y $\tau_1$ es Hausdorff, así que ... ?

Answer 2

Una pista: Considere $X\subseteq A$ no cerrado en $(A,\tau_1)$ pero cerrado en $(A,\tau_2)$ entonces $X$ no es compacto en $(A,\tau_1)$ desde $(A,\tau_1)$ es Hausdorff, y por tanto no es compacto en $(A,\tau_2)$ Entonces, como $X^{c}$ está abierto en $(A,\tau_2)$ ...

Answer 3

La topología más fina $\tau_2$ no sólo no es compacto, sino que incluso es igual a $\tau_1$ . Consideremos el mapa de identidad $(A,\tau_2)\to(A,\tau_1)$ . Es continua si y sólo si $\tau_1\subseteq\tau_2$ . Es un ejercicio fácil demostrar que un mapa continuo de un espacio compacto a uno de Hausdorff es un mapa cerrado. Esto significa que la identidad es un homeomorfismo, es decir, que las topologías coinciden. El mismo argumento se puede aplicar para demostrar que una topología más gruesa de Hausdorff es igual a $\tau_1$ .