Soluciones a $(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y)$

Question

Si $x$ es una función derivable de $t$ y si definimos

$$ f(x)=\frac{x^\prime}{x} $$

a continuación, $f$ satisface logarítmicas propiedades de

1. $f(xy)=f(x)+f(y)$
2. $f(x/y)=f(x)-f(y)$
3. $f(x^n)=nf(x)$

pero $f$ también satisface la no-logarítmica como la propiedad

4. $(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y)$

Hay funciones algebraicas que satisface la ecuación funcional $(4)$?

Nota: es bastante fácil demostrar que $f(x)=f(-x)$.

Answer 1

Si $g(x) = x f(x)$, la ecuación (4) dice $g(x+y) = g(x) + g(y)$, es decir, $g$ es aditivo. Ver Cauchy funcional de la ecuación.

Answer 2

$(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y) $ (4)

Deje $y=x$ se puede conseguir que la $f(2x)=f(x) $

Deje $y=2x$ obtener $f(3x) = f(x) $

Deje $y=nx$ obtener $f(nx) = f(x) $

Y sabemos que $f(x) = f(-x) $

$f(1)=f(2)=f(4)=f(5)....$

así que f es la función constante ?