¿cuál es el mayor entero que divide $p^4-1$ para cada número primo p mayor que 5(este es el gre tema problema de matemáticas)
Creo que el $p^4-1=(p^2+1)(p-1)(p+1)$,por lo que 8 debe dividir toda la $p^4-1$ para p>5,entonces yo estoy atrapado en cómo continuar analizar la cuestión. alguien puede decirme cómo encontrar el mayor número entero?
la elección es (a)12 (B)30 (c) 48 d)120 E) 240
Sugerencia : $p>5$ $p$ no es divisible por $3$, por lo tanto cualquiera de las $p-1$ o $p+1$ es divisible por $3$. Por lo $3$ divide $p^4-1$. Por lo $3$ divide y $8$ divide. Añadido: Aviso que $p-1$ $p+1$ son múltiplos consecutivos de $2$, por lo que uno de ellos es divisible por $4$. Como Batimovski sugerido, puede utilizar Fermat poco teorema a la conclusión de que la $p^{4} \equiv 1$ mod $5$. Por lo tanto, tenemos hasta el momento $(p-1)(p+1)$ es divisible por $8$$3$, e $p^{2}+1$ es aún, por lo $p^{4}-1$ divisible por $16$, y luego por $3$, por $16 \times 3 \times 5=240$ son parejas comprime, el mayor número en su lista!
Me gustaría promover la idea de calcular con pequeños ejemplos, con la esperanza de ver un patrón.
$$ \gcd( 7^4 -1, 11^4 - 1) = 240. $$ $$ \gcd( 7^4 -1, 11^4 - 1,13^4-1) = 240. $$ Así, parece ser $240.$ los demás se han dado argumentos suficientes para demostrar que esta es la respuesta final.
Mi punto es que los estudiantes deben aprender a tratar fácil de los casos, el menor de los problemas, al no ver la imagen en grande todavía.
Usted acertadamente que $8$ debe dividir el número. Sin embargo, $16$ también debe dividir, ya que uno de $p- 1 $ o $p+1 $ es un múltiplo de a $4$. Además, $16$ es el mayor poder de $2$ que divide el número, a partir de $p^2 +1$ nunca es un múltiplo de a $4$.
$3 $ divide nuestro número desde $p $ no es un múltiplo de a $3 $ y por lo tanto uno de $p+1 $ o $p-1$ es un múltiplo de $3 $. $9$ no dividir el número, a partir de $p^2+1 $ nunca es un múltiplo de a $3 $.
$p^4-1$ es siempre un múltiplo de $5 $ por Fermat Poco Teorema. $25 $ no siempre es un divisor. Por ejemplo, $29^4-1\equiv 4^4-1\equiv 5 \pmod{25}$ .
Para cualquier grande prime, $p\nmid p ^4-1$, por lo que la respuesta que finalmente se transforma en:
$$ 16\cdot 3\cdot 5=240$$
Si $q|(p^4-1),$ donde $p>5,q$ son primos,
claramente, el factor más importante que tiene que ser de la forma $N=2^{a+1}3^{b+1}5^{c+1}$ donde $a,b,c$ son enteros no negativos
Ahora, Carmichael Función de $\lambda(2^{a+1}3^{b+1}5^{c+1})=$lcm$(2^{a-1},(3-1)3^b,(5-1)5^c)=3^b5^c2^{\text{max}(a-1,1,2)}$ que necesitamos para ser $4$
$\implies b=c=0,a-1\le2\iff a\le3$
Por eso, $N_{\text{max}}=N=2^{3+1}3^{0+1}5^{0+1}$
En general, vamos a $d$ ser un número natural y $f(d)$ el máximo común divisor de todos los números de la forma $p^d-1$ donde $p\geq d+2$ es un primer entero. Denotar por $g(d)$ el producto de todos los números de la forma $q^k$ donde $q$ es un número impar (positivo) primer y $k$ es el mayor entero positivo tal que $q^{k-1}(q-1)$ divide $d$. También definimos $$h(d):=\left\{\begin{array}{ll} 2 & ,\text{ if }d\text{ is odd}\,, \\ 2^{k+2} & ,\text{ if }d\text{ is even and }k\text{ is the largest exponent of }2\text{ in the factorization of }d\,. \end{array}\right. $$ Entonces, yo reclamo que $f(d)=g(d)\cdot h(d)$.
En primer lugar, vamos a comprobar que $g(d)$ $h(d)$ brecha $f(d)$. Para $g(d)$, tenemos que invocar de Euler totient función y el Teorema de Euler. Para $h(d)$ si $d$ es impar, el reclamo es trivial, y si $d=2^ks$ $s$ que se extraña, a continuación,$p^d-1=\left(p^s-1\right)\left(p^s+1\right)\cdot \prod_{i=1}^{k-1}\,\left(p^{2^is}+1\right)$, y vemos que $8=2^3$ divide $\left(p^s-1\right)\left(p^s+1\right)$, mientras que el $2$ divide cada una de las $p^{2^is}+1$$i=1,2,\ldots,k-1$. Por lo tanto, $g(d)\cdot h(d)\mid f(d)$, como se desee.
Ahora, pretendemos que $f(d) \mid g(d)\cdot h(d)$. En primer lugar, si $f(d)$ es divisible por $q^k$ donde $q$ es un número impar (positivo) primer y $k\in\mathbb{N}$ tal que $q^{k-1}(q-1)$ no divide $d$, $p^d\equiv 1\pmod{q^k}$ por cada prime $p\geq d+2$. Por lo tanto, $p^{\gcd\left(d,q^{k-1}(q-1)\right)}\equiv 1\pmod{q^k}$ para todos los prime $p\geq d+2$. Deje $\omega$ ser un elemento primitivo modulo $q^k$, entonces existe un primer $p\equiv \omega\pmod{q^k}$ (por medio del Teorema de Dirichlet). Por lo tanto, $\omega^{\gcd\left(d,q^{k-1}(q-1)\right)}\equiv 1\pmod{q}$. Sin embargo, debido a la definición de $\omega$, debemos tener $q^{k-1}(q-1)=\gcd\left(d,q^{k-1}(q-1)\right)$, lo que contradice la suposición de que $q^{k-1}(q-1)$ no divide $d$. Por tomar un primer $p\geq d+2$ tal que $p\equiv 3\pmod{8}$, podemos ver que $2^{h(d)}\mid f(d)$ pero $2^{h(d)+1}\nmid f(d)$.
En resumen, $f(d)=g(d)\cdot h(d)$ por cada $d\in\mathbb{N}$. Tenga en cuenta que, si $d$ es impar, entonces $g(d)=1$, de donde $f(d)=2$ para todos los impares $d$. Por ejemplo, si $d=12$,$h(d)=2^{2+2}=2^4=16$$g(d)=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13=4095$. Es decir, $f(d)=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13=65520$.
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