Una pregunta acerca de un método que muestra $\mathbb{R} $ no finito dimensionales.

Question

Al mirar los métodos que se muestran a $\mathbb{R}$ no es finito dimensionales más de $\mathbb{Q}$ me llegó a través de un método mencionado aquí por el usuario Bill Dubuque, tomó un conjunto de vectores de la forma $\log(p)$ donde $p$ es el primer y demostró que el conjunto es independiente, pero en su prueba de él sólo toma $n$-de los números primos. Así que mis preguntas son:

El conjunto de estos logaritmos es infinito , ¿por qué sólo el uso de $n$ de los números primos?

¿Por qué este espectáculo que $\mathbb{R}$ no es finito dimensionales?

Para la segunda pregunta, no estoy seguro, pero creo que es porque no importa lo $n$ es el conjunto es independiente, pero no estoy seguro de que esto puede ser extendido a $n= \infty$.

Answer 1

El método que muestra una colección de $\{\log p_i\ |\ i =1, \dots n\}$ es linealmente independiente y, por tanto,$\dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} \geq n$, pero el argumento funciona para cualquier $n \in \mathbb{N}$, lo $\mathbb{R}$ es un infinito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Para mostrar que $\{\log p_i\mid i\in \Bbb N\}$ es linealmente independiente sobre $\Bbb Q$, sólo se necesita mostrar que cada trivial combinación lineal de sus elementos es distinto de cero.

Así, seleccione un número finito de elementos del conjunto para combinar. Este conjunto debe tener un alto índice de $\log p_i$, por lo que sin pérdida de generalidad, podemos añadir todas las $\log p_j$ en esta combinación lineal que están ausentes simplemente dándoles el coeficiente cero. Por ello, cualquier combinación lineal finita de empezar con el, siempre se puede cambiar para incluir la primera $n$ prime-registros.

La conclusión es que esta combinación (igual a la original combinación) es distinto de cero, y por lo $\{\log p_i\mid i\in \Bbb N\}$ LI $\Bbb Q$.