Encontrar la suma de los n términos de la serie :$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\cdots$

Question

$$ \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} +\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\cdots $$ hasta el $n$ términos. Necesito ayuda en la solución de esta suma. Traté de encontrar los coeficientes de los términos después de dividir los términos..: se convierte en $$(\frac{1}{1\cdot 6}-\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{6\cdot4}) + (\frac{1}{6\cdot 2} - \frac{1}{3\cdot2} +\frac{1}{4\cdot 2} -\frac{1}{6\cdot5})+\cdots.$$ Traté de resolverlo, pero estoy llegando a ninguna parte .Por favor alguien que me ayude con esta suma.

Answer 1

Podemos utilizar la siguiente identidad: $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right).$$ Gracias a esta identidad, si queremos calcular $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k(k+1)(k+2)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right),$$ sólo tenemos que restar $1/(n+1)(n+2)(n+3)$ $1/(1\cdot2\cdot3)$ y, a continuación, repartir por 3, porque todos los demás términos se anulan. Esto nos da el resultado: $$\frac{1}{18}-\frac{1}{3(n+1)(n+2)(n+3)}.$$

Answer 2

Sugerencia: Use fracciones parciales: $$ \frac1{(n-3)(n-2)(n-1)n}=-\frac1{2(n-2)}+\frac1{2(n-1)}-\frac1{6n}+\frac1{6(n-3)}$$ y tenga en cuenta que los telescopios, así que usted puede encontrar las sumas parciales.

Answer 3

SUGERENCIA:

El $r(\ge1)$th plazo

$$=\dfrac1{r(r+1)(r+2)(r+3)} =\dfrac{r+3-r}{3r(r+1)(r+2)(r+3)}=v_r-v_{r+1}$$

donde $v_m=\dfrac1{3m(m+1)(m+2)}$

$$\sum_{r=1}^n u_r=\sum_{r=1}^n(v_r-v_{r+1})=v_1-v_{n+1}$$

Se puede tomar desde aquí?