Apenas estoy comenzando a aprender la geometría algebraica. Un ejercicio de Reid, p. 24 es demostrar que si $Q(x,y,z)$ es una forma cuadrática sobre un campo $k$, con al menos 4 elementos, y $Q$ se desvanece en el ajuste a cero de la cónica $\{xz=y^2\}\subset \mathbb{P}^2_k$,$Q=\lambda (xz-y^2)$. Me han resuelto el problema, supongo que en la forma en que la intención del autor, pero en el intento de integrar la solución con mis conocimientos previos, siento que me falta algo. Me puedes ayudar a obtener un sentido de "la verdadera historia"?
La solución que me han dado: $\{xz=y^2\}\subset \mathbb{P}^2_k$ es parametrizadas por $(u:v)\in \mathbb{P}^1_k \mapsto (u^2:uv:v^2)\in \mathbb{P}^2_k$. Por lo tanto $Q(u^2,uv,v^2)$ se desvanece para todas las opciones de $u,v$. Este es homogénea polinomio en dos variables, por lo que puedo interpretar su ajuste a cero como un conjunto de elementos en $\mathbb{P}^1_k$. Grado 4 por lo menos es idéntica a cero como un polinomio, no se puede tener más de $4$ ceros en $\mathbb{P}^1_k$. Pero $\mathbb{P}^1_k$ tiene al menos 5 puntos, (al menos) 4 para los elementos de $k$ también $\infty$. Desde $Q(u^2,uv,v^2)$ se desvanece en todos ellos, debe ser cero como un polinomio. Ahora un elemental cálculo con el genérico coeficientes de $Q$ de la muestra tiene la forma deseada. (Auxiliar pregunta: ¿es correcto esto?)
Este tipo de razonamiento en términos de espacio proyectivo es nuevo para mí, así que buscó una solución alternativa en la esperanza de que me ayudaría a entender esta solución mejor.
INTENTO de solución alternativa: Desde $Q$ $xz-y^2$ son de bajo grado y quiero mostrarles $(xz-y^2)|Q$, divida $Q$ $xz-y^2$ en el ring $k(z,y)[x]$ hasta obtener un resto $R\in k(z,y)$ desde $xz-y^2$ grado 1 en $x$. Borrar el denominador en $R$ para obtener un elemento de $k[z,y]$. Esencialmente, esto equivale a la sustitución de la $zx$ $y^2$ a lo largo de $z^2Q$. Por lo tanto $R$ es homogénea de grado en la mayoría de 4 polinomio en $y$$z$, y la construcción se desvanece cuando $xz=y^2$.
Quiero concluir que $R$ es cero como un polinomio, pero no puedo hacer lo que hice la última vez, porque no sé que $R$ se desvanece para cada $(y:z)\in \mathbb{P}^1_k$. En particular, no sé si se desvanece en $(1:0)$, a pesar de que hace desaparecer en $(u:1)$ $u\in k$ (es decir, en una copia de $\mathbb{A}^1_k\subset \mathbb{P}^1_k$), porque, seamos $x=u^2$. Así, por ejemplo, si el campo es $\mathbb{F}_4$, sólo sé que el asociado no homogéneas polinomio de a $R$ tiene cuatro ceros, y esto significa que no sé lo que es el polinomio cero.
A mí me parece que moralmente, lo que sucede es que estoy tratando de parametrizar $xz=y^2$ tomando $(y:z)\in\mathbb{P}^1$, solución de $xz=y^2$$x$, y luego la asignación de $(y:z)\in\mathbb{P}^1_k \mapsto (x:y:z)\in\mathbb{P}^2_k$, pero esto no funciona porque si $(y:z)=(1:0)$, entonces no es $x$ problemas $xz=y^2$. Pero sigo confundido. En particular:
Preguntas:
1) ¿hay una manera de hacer esto sin hacer referencia proyectiva del espacio? Estamos probando una declaración acerca de bajo grado de los polinomios en 3 variables. Siento que debería ser capaz de hacer esto con muy simple álgebra conmutativa. (Si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el resultado es inmediato a partir de Hilbert Nullstellensatz, pero esto se siente como un poder demasiado y no funciona si $k$ es, por ejemplo, $\mathbb{F}_4$.) Se puede ver como una solución?
2) me Puede ayudar a entender mejor el "por qué" de la segunda (intento de) la solución anterior no funciona? (Disculpas por la pregunta vaga. Yo voy a "moral / conceptual" de satisfacción, una cosa resbaladiza. Agradezco cualquier intento de ayuda.) Hay una manera de completar que la solución utilizando proyectiva o no proyectiva ideas?
Gracias. Disculpas de antemano por la imprecisión de las preguntas.
