Cada entero positivo aparecen en los dígitos de $2\cdot 0.1234567891011…$?

Question

Deje $C = 0.1234567891011121314…$ el Champernowne constante. Mi pregunta es :

¿El número real $2 \cdot C \simeq 0.24691357820222426283032343638404244464850525456586062646668707274...$ contienen cada entero positivo en sus dígitos?

Por ejemplo, $2022$ aparece aquí : $0.246913578\underbrace{2022}...$

Obviamente esto es cierto para $C$, y también para $0.246810121416...$. Estos son conocidos por ser normal. Mi pregunta es para determinar si $2C$ es de al menos una disyuntiva número (en base a $10$).

Más en general, me gustaría saber si un no-cero múltiples $n \cdot x \; (n \in \Bbb Z)$ de una disyuntiva también el número de dislocaciones (true si $n=10^k,k\in \Bbb N$).

He mirado algunos teoremas sobre disyuntiva/normal números (por ejemplo, si $f$ no es una constante del polinomio con coeficientes reales que siempre es positivo, entonces la "concatenación" de las partes enteras $x=0.[f(1)][f(2)][f(3)]...$ es normal), pero no he sido capaz de concluir.

Cualquier comentario sería de gran ayuda.

Answer 1

En general, si usted quiere mostrar que una $m$ se produce en $nC$, a continuación, escriba $m/n$ en número decimal a una gran cantidad de dígitos, luego de la ronda de finales. Luego, cuando la secuencia de dígitos que se produce en $C$ rodeado de "suficiente" ceros, a continuación, $m$ se produce en la misma ubicación de $nC$.

(Al escribir $m/n$, tendrás que mantener los ceros que de inicio el cociente en el caso de $n>m$.)

Por ejemplo, dada $m=73$, $n=6$ a continuación, $m/n=12.16666\dots$ así que empezamos los dígitos $12167$. Entonces, ¿de dónde $10121670$ se produce en $C$, $6073002$ se produce en $6C$.

Esto es particularmente fácil para $n=2^k$ o $n=5^k$ porque los decimales para $m/n$ terminar en estos casos, por lo que no hay duda de "¿cuántos dígitos." Creo que, más en general, usted está seguro de si usted toma más dígitos de $m/n$ después de la coma decimal que hay dígitos de $n$, pero no estoy 100% seguro de eso.

Usted tiene que comenzar con $1$, a continuación, agregue el número de dígitos de $0$s como dígitos de $n$, a continuación, agregue la secuencia de dígitos de $m/n$, luego otra vez como muchos de $0$s al final como dígitos de $n$.

Así que si $m=84,n=13$ $m/n \approx 6.461538462$ así que vamos a tomar los dígitos $10064700$ y encontrar en $C$. Donde estos dígitos ocurrir, se obtendrá $308411xx$ en la misma ubicación de $13C$.

La única propiedad de $C$ que estamos utilizando es la de que cada secuencia finita de dígitos que se produce en ella.