P es un número natural. 2P tiene 28 divisores y 3P tiene 30 divisores. ¿Cuántos divisores de 6P habrá?

Question

Mientras respondía a las preguntas de Aptitud en un libro me enfrenté a esta pregunta pero no pude encontrar la solución Así que busqué en Google y obtuve dos respuestas pero no me hice una idea de cómo llegó la respuesta.

Pregunta:

P es un número natural. 2P tiene 28 divisores y 3P tiene 30 divisores. ¿Cuántos divisores de 6P habrá?

Solución 1:

2P tiene 28(4*7) divisores pero 3P no tiene un total de divisores que sea divisible por 7, por lo que la primera parte del número P será 2^5.

Del mismo modo, 3P tiene 30 (3*10) divisores pero 2P no tiene un total de divisores que sea divisible por 3. Así que la segunda parte del número P será 3^3. Entonces, P = 2^5*3^3 y la solución es 35.

Solución 2:

2P tiene 28 divisores =4x7,

3P tiene 30 divisores

Por lo tanto P=2^5 3^3

6p =2^6 3^4

Por lo tanto, 35 divisores

He tratado de entender los pasos pero no he podido conseguirlo.

Answer 1

pista

Dejemos que la factorización primaria de $P=2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c} \cdot 7^{d} \ldots$ . Entonces el número de divisores de $P$ viene dada por $$(a+1)(b+1)(c+1)\ldots.$$

Si $2P$ tiene $28$ Divisores entonces $$(a+2)(b+1)(c+1)\ldots=28.$$

Igualmente Si $3P$ tiene $30$ Divisores entonces $$(a+1)(b+2)(c+1)\ldots=30.$$

Espero que ahora puedas entender las soluciones que has encontrado. Si no es así, hágamelo saber y se lo explicaré.

Answer 2

Para entender la respuesta debes saber cómo encontrar el número de divisores de un número a partir de su factorización primaria: El número $n=2^a3^b5^c7^d\cdots p^k$ tiene exactamente $\tau(n)=(a+1)(b+1)(c+1)\cdots(k+1)$ divisores.

Así que si $P=2^a3^b5^c\cdots$ entonces $2P$ tiene $\tau(2P)=(a+2)(b+1)(c+1)\cdots$ divisores y $3P$ tiene $\tau(3P)=(a+1)(b+2)(c+1)\cdots$ divisores. La primera solución observa que $7\mid \tau(2P)$ y $7\nmid \tau(3P)$ por lo que debemos tener $7\mid a+2$ . (Nota: En la forma escrita en el PO, la conclusión que $a+2=7$ es un poco precipitado). De la misma manera, $3\mid \tau(3P)$ , $3\nmid \tau(2P)$ nos dice que $3\mid b+2$ (y no inmediatamente $3=b+2$ ). Aprendemos poco sobre $c$ etc., es decir, sobre los primos $\ge 5$ dividiendo $P$ .

Justifiquemos, pues, las conclusiones obtenidas: Mientras que $7\mid a+2$ permite $a+2$ para ser cualquiera de $7,14,21,28$ sabemos que $a+1\mid \tau(3P)$ pero del número $6,13,20,27$ sólo $6$ es de hecho un divisor de $\tau(3P)=30$ . Por lo tanto, podemos concluir que $a=5$ . Teniendo esto en cuenta, sabemos que $(b+1)(c+1)\cdots = \frac{\tau(2P)}{a+2}=4$ y $(b+2)(c+1)\cdots =\frac{\tau(3P)}{a+1}=5$ . Concluimos que $5\mid b+2$ y - esta vez de hecho directamente - $5=b+2$ .

Answer 3

En primer lugar, queremos saber cómo calcular fácilmente el número de divisores de cualquier número. Si tenemos $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ donde todos $p_i$ son distintos, entonces para construir un divisor tenemos $e_1+1$ opciones para el número de factores $p_1$ en nuestro divisor, $e_2+1$ opciones para el número de factores $p_2$ etc., haciendo que el número de divisores sea igual a $(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)$ . Así, por ejemplo, $12=2^2\cdot 3$ así que $12$ tiene $(2+1)(1+1)=6$ divisores.

Veamos ahora la primera pista, $2P$ que tiene 28 divisores. Escribamos $2P=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ . El número de divisores es ahora $(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)=28$ . Así, podemos decir que una potencia, digamos $e_1$ debe ser $6,13$ o $27$ (ya que 28 tiene un factor 7, y supusimos que estaba contenido en $e_1+1$ . Nuestras opciones son ahora: $$2P=p_1^6\cdot p_2\cdot p_3$$ $$2P=p_1^6\cdot p_2^3$$ $$2P=p_1^{13}\cdot p_2$$ $$2P=p_1^{27}$$ La segunda pista dice que 3P tiene 30 divisores. Como esto no contiene un factor 7, sabemos que el $2$ en $2P$ debe ser responsable de esto (nota que sigue $e_1$ es la potencia de 2 en $2P$ ). Así, sabemos que $p_1=2$ . Ahora podemos, por nuestras opciones anteriormente expuestas, calcular P. $$P=2^5\cdot p_2\cdot p_3$$ $$P=2^5\cdot p_2^3$$ $$P=2^{12}\cdot p_2$$ $$P=2^{26}$$ En la tercera opción, el número de divisores de $3P$ debe ser divisible por $12+1=13$ y en el último caso, el número de divisores de $3P$ debe ser divisible por $27$ . Concluimos que los dos últimos no son posibles, ya que 30 no es divisible ni por 13 ni por 27. En el primer caso, el número de divisores de $3P$ es divisible por $6$ debido a la cantidad de factores 2, y también sabemos que $3P$ tiene (al menos) un factor primo que sólo contiene una vez, por lo que tenemos otro factor 2 en el número de divisores de $3P$ . Ahora el número de divisores de $3P$ es divisible por $12$ que también es imposible ( $12$ no divide $30$ ). Concluimos que $P$ debe ser de la forma $p_1^5\cdot p_2^3$ . También sabemos que si $p_2\neq 3$ entonces el número de divisores de $3P$ es divisible por $6$ debido a los factores 2 y por $4$ debido a los factores $p_2$ . Esto es de nuevo imposible.

Por último, debemos tener $p_2=3$ así que $P=2^5\cdot 3^3$ . Ahora podemos calcular fácilmente el número de divisores de $6P$ ; debe ser $(6+1)(4+1)=35$ .

Espero que esto haya servido de ayuda.