Demostrar que la ecuación de $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = 6$ no tiene solución en números naturales

Question

El resultado ha sido refutada.

Demostrar que la ecuación de $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} = 6$$ no tiene solución en números naturales.

La ecuación es equivalente a $$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right) = 9.$$ Then since $\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c,+}+\dfrac{1}{a+b} \leq \dfrac{3}{2}$, it follows that $a+b+c \geq 6$. Suppose without loss of generality that $\leq b \leq c$. Then $$\dfrac{c}{2a}+\dfrac{c}{2a}+\dfrac{c}{2a} = \dfrac{3c}{2a} \geq 6.$$ Thus $c \geq 4a$. ¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Hay una solución con $n = 6$. Ver este documento (Una inusual cúbicos representación problema por Andrew Bremner y Allan MacLeod) así como Micheal Stoll la respuesta en MathOverflow.

La ecuación

$$ \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 6 $$

corresponde a la ecuación

$$ a^3 + b^3 + c^3 + abc - 5(a + b)(b + c)(a + c) = 0$$

lo que da un proyectiva cúbicos curva. Si fijamos un punto de la curva, el origen, se obtiene la siguiente curva elíptica sobre $\mathbf{Q}$:

$$ E: y^2 = x(x^2 + 213 x + 288). $$

Usted puede utilizar esta información para calcular los $E(\mathbf{Q})$ y obtener soluciones a la ecuación. En su artículo, Bremmer y Macleod estado que para $n = 6$ el mínimo de la solución 134 dígitos para el más grande de $a, b, c$.

Una solución se encuentra aquí. (Gracias a Oleg567).

a=1218343242702905855792264237868803223073090298310121297526752830558323845503910071851999217959704024280699759290559009162035102974023;

b=2250324022012683866886426461942494811141200084921223218461967377588564477616220767789632257358521952443049813799712386367623925971447;

c=20260869859883222379931520298326390700152988332214525711323500132179943287700005601210288797153868533207131302477269470450828233936557.