La prueba de que cada espacio normado dimensional finito del vector es completo

Question

Puedes leer mi prueba y dime si es correcto? Gracias.

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre topológico campo de decir $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) $\dim(V) = n$ base $e_i$ y norma $\|\cdot\|$. Deje $v_k$ ser una secuencia de Cauchy w.r.t. $\|\cdot\|$. Desde cualquiera de las dos normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes, $\|\cdot\|$ es equivalente a la $l^1$norma $\|\cdot\|_1$, lo que significa que para algunas constantes $C$, $\varepsilon > 0$, $k,j$ lo suficientemente grande, $$\varepsilon > \|v_j - v_k\| \geq C \|v_j - v_k\|_1 e_i= C \sum_{i=1}^n |v_{ji} - v_{ki}| \geq |v_{ji} - v_{ki}|$$ para cada una de las $1 \leq i \leq n$. Por lo tanto $v_{ki}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) para cada $i$. $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) por lo tanto $v_i = \lim_{k \to \infty} v_{ki}$ $\mathbb R$ (o $\Bbb C$) para cada una de las $i$. Deje $v = (v_1, \dots , v_n) = \sum_i v_i e_i$. A continuación,$v$$V$$\|v_k - v\| \to 0$:

Deje $\varepsilon > 0$. Entonces $$\|v_k - v\| \leq C \|v_k - v\|_1 = C \sum_{i=1}^n |v_{ki} - v_i| \leq C^{'}n \varepsilon$$

para $k$ lo suficientemente grande.

Answer 1

Sí, la prueba es correcta. Aquí, me limitaré a reformular para mejorar un poco la claridad y la precisión .

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) $\dim(V) = n$ y norma $\|\cdot\|$. Deje $\{e_i\}_{i=1,\cdots , n}$ ser una base de $V$. Supongamos $v_k$ ser una secuencia de Cauchy w.r.t. $\|\cdot\|$.

Desde cualquiera de las dos normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes, $\|\cdot\|$ es equivalente a la $l^1$norma $\|\cdot\|_1$. Por lo tanto, hay $C,D>0$ tal que, para todos los $w\in V$, $C \|w\|_1 \leq \|w\| \leq D \|w\|_1$.

Así, tenemos, para todos los $\varepsilon > 0$, $N$ de manera tal que, si $k,j>N$, $$\varepsilon > \|v_j - v_k\| \geq C \|v_j - v_k\|_1 = C \sum_{i=1}^n |v_{ji} - v_{ki}| \geq |v_{ji} - v_{ki}|$$ para cada una de las $1 \leq i \leq n$. Por lo tanto $v_{ki}$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) para cada $i$. $\mathbb R$ (o $\mathbb C$) por lo tanto $v_i = \lim_{k \to \infty} v_{ki}$ $\mathbb R$ (o $\Bbb C$) para cada una de las $i$. Deje $v = (v_1, \dots , v_n) = \sum_i v_i e_i$. Entonces, es claro que, $v$$V$.

Vamos a demostrar $\lim_{k \to +\infty} \|v_k - v\| = 0$:

$$\lim_{k \to +\infty} \|v_k - v\| \leq D \lim_{k \to +\infty} \|v_k - v\|_1 = D \lim_{k \to +\infty} \sum_{i=1}^n |v_{ki} - v_i| = D \sum_{i=1}^n \lim_{k \to +\infty} |v_{ki} - v_i|=0$$