Dejemos que $f(x)\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}^{+}$ con $f(x)$ continua. ¿Es cierta la siguiente afirmación?
$\exists M, \forall y> x\geq M$ tal que $\lvert\int_{x}^{y}{f(s)ds}\rvert\leq \varepsilon$ para todos $\varepsilon>0$ .
Respuesta
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Thomas
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La única manera " $|\int_x^y f(s)\,ds| \le \epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ " puede ser cierto es si $\int_x^y f(s)\,ds = 0$ .
Por lo tanto, la afirmación es equivalente a " $\exists M, \forall y > x \ge M, \int_x^y f(s)\,ds = 0$ "
Esto falla claramente si tomamos $f(x) = 1$ . De ahí que la afirmación " $\exists M, \forall y> x\geq M$ tal que $|\int_{x}^{y}{f(s)ds}|\leq \varepsilon$ para todos $\varepsilon>0$ " es falso.
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Tal y como está escrito actualmente, si elijo $y = x$ entonces $|\int_{x}^{y}f(s)\,ds| = 0 \le \epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ . Así que la afirmación es verdadera. Sin embargo, sospecho que querías tener los condicionales en un orden diferente.
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@JimmyK4542. Revisado.