Activa todas las funciones.

Question

encontrar todas las funciones $f(x):R\to{}R$ tal que

$f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$.

He derivado este pistas:-

$f(0)=0$,
$f(x^2)=xf(x)$,
$f(x)=-f(-x)$

pero ahora estoy confundida. Sé que solución será $f(x)=x$ pero no sé cómo comprobarlo.

Answer 1

Deje $P(x, y)$ denotar $$f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$$

$P(0, 0)$ da $f(0)=0$, $P(x, 0)$ da $f(x^2)=xf(x)$.

Ahora $-xf(-x)=f((-x)^2)=f(x^2)=xf(x)$. Por lo tanto para $x \not =0$, $f(-x)=-f(x)$.

Esto claramente tiene por $x=0$, así que $f(-x)=-f(x)$.

$P(x, -y)$ da $$f(x^2-y^2)=(x+y)(f(x)+f(-y))=(x+y)(f(x)-f(y))$$

Comparando con $P(x, y)$ da $$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$$

Por lo tanto $2yf(x)=2xf(y)$. Poner a $y=1$ da $f(x)=xf(1)$. Podemos comprobar fácilmente que estos son de hecho las soluciones.

Answer 2

No sé cómo hacer esto sin continuidad. Si usted puede mostrar a $f(x) \to f(0)$ siempre $x \to 0$, entonces la expresión original de los rendimientos. Entonces todo lo que necesita es $f(x)$ delimitada cerca de cero con el fin de utilizar $f(x^2) = x f(x)$ a que el límite existe y es igual a cero.

Sin embargo, teniendo continuidad por sentado, considerar el resultado de la $f(x^2)=xf(x)$ que puede ser reescrita como $f(x) = x^{1/2} f(x^{1/2})$ si dejamos $x^2 \to x$ positivos $x$. A continuación,$f(x^2) = x \cdot x^{1/2} f(x^{1/2})$. Pero luego podemos escribir $f(x^{1/2}) = x^{1/4} f(x^{1/4})$ si dejamos $x \to x^{1/4}$$f(x^2) = xf(x)$, de modo que $f(x^2) = x \cdot x^{1/2} \cdot x^{1/4} f(x^{1/4})$.

La repetición de esta $n$ veces tenemos $$f(x^2) = x^{\sum_{n=0} 2^{-n}} f(x^{2^{-n}}) = x^{(2-2^{-n})} f(x^{2^{-n}})$$ que tiene por $x>0$. Ahora para $x > 0$, teniendo el límite de $n \to \infty$ da $$f(x^2) = x^2 f(1)$$ el uso de la continuidad de la $f$ o reexpresado $$f(x) = f(1) x$$ para los positivos $x$.

Pero ahora por la negativa $x$ utilizan el hecho de $f(x) = -f(-x)$, de modo que $f(-x) = -x f(1)$. Dejando $\alpha = f(1)$, podemos decir que todas las soluciones deben ser de la forma $f(x) = \alpha x$. Es fácil comprobar que están todas las soluciones.

Answer 3

$f(x)+f(x+1)=f(2x+1)=(2x+1)(f(x+1)+f(-x))$.

Que puede reordenarse

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x+1)}{x+1}$$

así, por ejemplo, $f(n)=nf(1)$

Answer 4

He encontrado una prueba de $f(x)=xf(1)$ sin asumir la continuidad, pero sólo para $x$ entero.

En primer lugar, vamos a $u=y+x$, $v=y-x$. Entonces $$f(uv)=v\left[f\left(\frac{u+v}2\right)+f\left(\frac{u-v}2\right)\right]$$

Ahora vamos a $u=1$, $v=t$ para obtener $$f(t)=t\left[f\left(\frac{t+1}2\right)-f\left(\frac{t-1}2\right)\right]$$ y $u=t$, $v=1$ los rendimientos $$f(t)=\left[f\left(\frac{t+1}2\right)+f\left(\frac{t-1}2\right)\right]$$ La combinación de estas ecuaciones no es difícil de obtener $$f\left(\frac{t+1}2\right)=f\left(\frac{t-1}2\right)\frac{t+1}{t-1}$$ Para $t$ un número impar $\geq3$, escribir $n=(t-1)/2$ y $$f(n)=f(n-1)\frac{n}{n-1}$$ Aplicar de forma recursiva esta fórmula y $$f(n)=nf(1)$$