Complemento de una cubierta abierta contable de los racionales

Question

Suponga que usted toma un intervalo abierto I de longitud 1, la divide en contables de sub-intervalos (I/2, I/4, etc.), y cubrir cada racional con uno de los sub-intervalos.

Ya que todos los racionales, están cubiertos, parece que los sub-intervalos (si es que no se superponen) están separados por un único irracional. Por ejemplo, si s = sqrt(2) podríamos tener los dos sub-intervalos ( s-I/2, s ) y ( s, s+I/4 ) y s sería descubierto.

Pero si tenemos contables número de sub-intervalos, con más de un (irracional) número entre cada sub-intervalo, eso significaría que hemos cubierto todos los de la línea real, excepto para el complemento, un contable número de irrationals, con un intervalo de longitud 1, lo cual es absurdo.

Así que hay un error en el razonamiento, pero no veo exactamente donde. Donde es?

Gracias.

Answer 1

Los intervalos deben ser muy solapados. Si $q$ está cubierto por un intervalo de longitud de $2x$, no es racional,$q'\in(q-x,q+x)$. Y el intervalo que cubre $q'$ debe tener cruzaba con la que cubra $q$.

Pero incluso si se logró hacer esta portada sin la superposición de los intervalos (por ejemplo, en cada paso, elegir el más pequeño racional que puede cubrir sin superposiciones), su error es que usted falsamente a la conclusión de que los intervalos deben estar separados por al mayoría de un solo número irracional, y que el complemento es sólo estos números irracionales. La mayoría de los números irracionales no son los extremos de estos intervalos, sino más bien el límite de puntos de ellos.

(Lo mismo sucede con el conjunto de Cantor, la mayoría de los puntos del conjunto de Cantor no son extremos del intervalo de aquellos que se retire, sino más bien el límite de puntos de estos extremos.)