¿Hay una función como esta?

Question

Deje que $A=[0,1]$ y $C=\{0\} \cup\ { \frac {1}{n},\ n \in\mathbb {N}\}$ .

i) ¿Existe una función $f:A \rightarrow\mathbb {R}$ de tal manera que $f \in C^{r}(A)$ , $r \geq 2$ y el conjunto de "Valores" críticos de $f$ es $C$ ?

ii) ¿Existe una función $f:A \rightarrow\mathbb {R}$ de tal manera que $f \in C^{1}(A)$ y el conjunto de "Valores" críticos de $f$ es $-C \cup C$ ?

Este es un problema de un curso de topología diferencial que hice el año pasado. Está relacionado con la teoría Morse. No pude encontrar ninguna buena solución para ello. Aprecio algo de ayuda.

Un valor crítico es la imagen de un punto crítico, es decir, si $f'(x)=0$ entonces $f(x)$ es un valor crítico.

Gracias

Answer 1

Puede que hayas perdido otro ajuste en algún lugar (aunque no puedo encontrar dónde - mis ajustes parecen coincidir con los tuyos.)

Acabo de hacer pruebas tanto en 10.4 como en 10.4.1 y puedo confirmar que recibí el Advertencia sobre los sistemas de coordenadas geográficas en ambos, incluyendo la opción de establecer la transformación entre los dos sistemas.

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He vuelto a hacer pruebas usando el proceso actualizado y sigo obteniendo el mismo resultado. El Advertencia sobre los sistemas de coordenadas geográficas El mensaje aparece tan pronto como añado el segundo archivo shape (sistema diferente) en el marco de datos.

(Observe que el segundo archivo shape no aparece en el ToC hasta después de hacer clic en Cerrar en el diálogo de Advertencia)

Answer 2

En cada caso, la respuesta es sí. Compruébelo. este mensaje de Mate en el tablero de preguntas y respuestas de Topología. Para adaptarlo a su pregunta:

Necesitas este lema, que no es tan difícil de probar si ya sabes acerca de las funciones de la protuberancia:

Para cualquier $a,b,c,d \in \mathbb {R}$ con $a<b$ existe una función suave $f:[a,b] \rightarrow \mathbb {R}$ de tal manera que $f(a) = c, f(b) = d$ y todos los derivados de $f$ se desvanecen en $a$ y $b$ .

Ahora deja que $r: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q}$ ser su enumeración favorita el conjunto $C$ (o $-C \cup C$ ). Ampliar $r$ a una función suave $f$ en los números reales (positivos) usando el lema. Esta función satisface todos sus requerimientos.