Metrica intrínseca no geodésicas

Question

Parece que tengo la necesitaba ejemplo, pero quiero que sea simple y se explica por sí mismo...

La construcción de un trivial completa de espacio métrico $X$ con intrínseco métrica que no tiene trivial minimizar geodesics.

Definiciones:

• Una métrica $d$ se llama intrínseca si para cualquier par de puntos $x$, $y$ y cualquier $\epsilon>0$ hay un $\epsilon$punto $z$; es decir,$d(x,z),d(z,y)<\tfrac12 d(x,y)+\epsilon$.

• Reducir a un mínimo la geodésica es no trivial si conecta dos puntos distintos.

• Un meric espacio es no trivial si contiene dos puntos distintos.

Comentarios:

• Claramente, $X$ no puede ser localmente compacto.

Answer 1

Así, la unidad de la bola en $c_0$ es casi lo que quiera (que no hay un único más corto de la curva entre los puntos). Todo lo que necesitamos ahora es mejorar la "evita" y para dar inconveniente de las "líneas rectas". Esto se puede hacer fácilmente tomando la distancia del elemento a ser $(2+\sum_n 2^{-n}x_n)^{-1}\|dx\|_\infty$, lo que nunca es menor que la habitual distancia del elemento en $c_0$ y nunca más de 3 veces en la unidad de la bola. Ahora bien, si tenemos cualquier continua de la longitud finita de la curva de $x(t)$ $y$ $z$parametrizadas por el arclength, que fácilmente se puede acortar mediante la sustitución de la $m$-ésima posición de la máxima de que el valor real de $x_m(t)$ $y_m+t(z_m-y_m)/d+\frac 12 \min(t,d-t)$ donde $d$ es la longitud de $x(t)$, el cual funcionará si $m$ es lo suficientemente grande desde $\max_t|x_m(t)|\to 0$ $m\to\infty$ y tanto las funciones de cambio más lento que la distancia a lo largo de la curva original.

Este es sin duda explica por sí mismo (el más corto de la curva se escapa de $c_0$$\ell^\infty$), pero no sé si es lo suficientemente simple como para sus propósitos.

Answer 2

Hay métrica simplicial gráficos (cada arista tiene una longitud de $1$) y hasta cuasi-isométrica a la línea real $\mathbb{R}$ (y como tal Gromov hiperbólico) sin infinita geodesics: Iniciar con los enteros $\mathbb{Z}$ y conecte los dos enteros $x, y$ con un simplicial intervalo de longitud de $|x-y|+1$, y de otra manera disjunta de a $\mathbb{Z}$. Cualquier infinita geodésica debe pasar a través de la concatenación de dos intervalos, pero no concatenación es una geodésica-puede ser abreviado por un solo intervalo. Espero que esto ayude con la pregunta que usted tiene en mente.

Answer 3

Hay un ejemplo muy simple de un intrínseco, completo espacio métrico que no es geodésica (leer en Ballmann "Conferencias sobre los Espacios de valor no positivo de Curvatura: es el gráfico en dos vértices $x,y$, vinculados por los bordes de la $e_n$ de la longitud de la $1+1/n$.

Por supuesto que no responde a tu pregunta, pero puede ser posible para mejorar este ejemplo para que lo hace. Llame a $X_1$ el gráfico descrito anteriormente, y definir $X_{n+1}$ $X_n$ de la siguiente manera: $X_n$ tiene un vértice $x'$ para cada vértice $x$$X_n$, además de un vértice $v_e$ para cada arista $e$$X_n$. Para cada arista $e=(xy)$ $X_n$ definimos los bordes de $f_e^n$ $g_e^n$ de $X{n+1}$: $f_e^n$ conecta $x'$ $v_e$y tiene una longitud de $(1+1/n)$ veces la longitud original de $e$, e $g_e^n$ hace lo mismo pero la sustitución de $x'$$y'$.

Ahora debería ser posible para la construcción de la deseada, por ejemplo una limitante del proceso. Por ejemplo, tomar todos los vértices a lo largo de la construcción: la distancia entre dos cualesquiera de estos puntos es constante siempre es definido, por lo que tenemos un espacio métrico. Su realización puede ser lo que usted quiere (pero yo no estoy tan seguro de que después de witting estas líneas).

Answer 4

Esto no responde a la pregunta. El siguiente artículo contiene un ejemplo natural, a saber, la regular Frechet Mentira grupo $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ de todos los diffeomorphisms de la línea real que caer rápidamente hacia la identidad, con una débil derecho invariantes de Riemann métrica inducida por el producto interior $$G_{Id}(X,Y) = \int_{\mathbb R} X I'\,dx$$ en la Mentira de álgebra, que tiene la siguiente propiedad:

• Distancia geodésica es una característica intrínseca de la métrica, pero no existe una sola que no sea trivial geodésica. Pero no es completo como un espacio métrico.

Este grupo es un subgrupo normal (isométricamente contenidos para la distancia geodésica, por thm 4.5) en el ligeramente más grande regular Mentira grupo $Diff_{\mathcal S_1}(\mathbb R)$ cuando uno permite que los cambios en $+\infty$. El interior del producto se extiende hasta el espacio más grande de campos vectoriales en el álgebra de la Mentira. La resultante débiles derecho invariantes de Riemann métrica (véase 4.3) es plana, tiene un mínimo de geodesics entre dos puntos cualesquiera (es geodesically convexo), que permite una fórmula para la distancia geodésica, y tiene un bonito geodésico de finalización que es un monoid. La ecuación geodésica es el Cazador-Saxton PDE en la recta real. Cualquier geodésica en $Diff_{\mathcal S_1}(\mathbb R)$ golpea el subgrupo $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ más de dos veces.

Distancia geodésica en $Diff_{\mathcal S}(\mathbb R)$ es una característica intrínseca de métrica; esto se deduce de la prueba del teorema 4.5.

• Martin Bauer, Martins Bruveris, Peter W. Michor: Homogénea Sobolev métrica de orden uno en diffeomorphism grupos en la recta real. Diario de la Ciencia no Lineal 24, 5 (2014), 769-808 (pdf)