Cómo calcular$\int_{0}^{1}\left (\frac{\arctan x}{1+(x+\frac{1}{x})\arctan x}\right )^2dx$

Question

Quiero calcular la siguiente integral$$\int_{0}^{1}\left(\frac{\arctan x}{1+(x+\frac{1}{x})\arctan x}\right)^2 \, dx$ $

Pero no tengo forma de hacerlo, alguien puede ayudarme, gracias.

Answer 1

Aquí es un camino para llegar a la respuesta, y no es en absoluto evidente.

En la búsqueda de la integral indefinida de la inversa del cociente de la regla va a ser utilizado. Recordar que si $u$ $v$ son funciones diferenciables, a partir de la regla de cocientes $$\left (\frac{u}{v} \right )' = \frac{u' v - v' u}{v^2},$$ es inmediato que $$\int \frac{u' v - v' u}{v^2} \, dx = \int \left (\frac{u}{v} \right )' \, dx = \frac{u}{v} + C. \tag1$$

Ahora la integral indefinida $$I = \int \left (\frac{\arctan (x)}{1 + \left (x + \frac{1}{x} \right ) \arctan (x)} \right )^2 \, dx,$$ puede escribirse como $$I = \int \frac{x^2 \arctan^2 (x)}{\left (x + (x^2 + 1) \arctan (x) \right )^2} \, dx.$$

Deje $v = x + (x^2 + 1) \arctan (x)$. A continuación,$v' = 2 + 2x \arctan (x)$. Ahora, para el duro poco. Tenemos que encontrar una función de $u(x)$ tal que $$u' v - v' u = u'[x + (x^2 + 1) \arctan (x)] - u [2 - 2x \arctan (x)] = x^2 \arctan^2 (x).$$ Si $$u = \frac{-x^2 + (x^2 + 1) \arctan^2 (x)}{2},$$ entonces $$u' = x + x \arctan^2 (x) + \arctan (x),$$ y nos encontramos, milagrosamente, que $$u' v - v' u = x^2 \arctan^2 (x).$$

Nuestros integral indefinida ahora pueden ser fácilmente encontrados, ya que puede ser reescrita en la forma dada por (1). El resultado es: $$I = \int \left (\frac{-x^2 + (1 + x^2) \arctan^2 (x)}{2[x + (x^2 + 1) \arctan (x)]} \right )' \, dx = \frac{-x^2 + (1 + x^2) \arctan^2 (x)}{2[x + (x^2 + 1) \arctan (x)]} + C.$$

Así que para la integral definida en el intervalo $x \in [0,1]$ hemos $$\int_0^1 \left (\frac{\arctan (x)}{1 + \left (x + \frac{1}{x} \right ) \arctan (x)} \right )^2 \, dx = \frac{\pi^2 - 8}{8(2 + \pi)}.$$

Answer 2

De hecho, existe una expresión de forma cerrada para la integral indefinida (crédito Mathematica, no yo, para esto):$${-x^2+(1+x^2)(\arctan(x))^2\over 2(x+(1+x^2)\arctan(x))}\,,$ $ como se puede verificar mediante diferenciación. Integral sobre$x\in [0,1]$ es igual a${\pi^2-8\over 8(2+\pi)}\approx0.0454529$.

Answer 3

Esto es todo lo lejos que tengo. Avíseme si alguien puede terminar esto analíticamente:

$$ \ left (\ frac {\ arctan x} {1 + (x + \ frac {1} {x}) \ arctan x} \ right) ^ 2 = \\ \ left (\ frac {\ frac {x} {1 + x ^ 2} \ cdot \ arctan x} {x \ cdot \ frac {1} {1 + x ^ 2} + \ arctan x} \ right) ^ 2 = \\ \ left (\ frac {x \ arctan x \ cdot (\ arctan x) '} {(x \ arctan x)'} \ right) ^ 2 = \\ \ left (\ frac {(\ arctan x) '} {[\ ln (x \ arctan x )] '} \ right) ^ 2 $$