Terminología para el espacio métrico con distancia "anti-simétrica".

Question

Me interesan los espacios que tienen una función de dos lugares $d$ con valores reales no negativos, satisfaciendo las tres condiciones siguientes (para todos $x$ , $y$ , $z$ ):

1. $d(x, x) = 0$
2. $d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)$
3. Si $d(x, y) = d(y, x) = 0$ entonces $x = y$

Estas condiciones garantizan que el espacio está parcialmente ordenado con respecto a la relación $d(x, y) = 0$ y un espacio métrico con respecto a la función $ \max (d(x, y), d(y, x))$ (o alternativamente $d(x, y) + d(y, x)$ ).

¿Los espacios como este tienen un nombre estándar? ¿Hay un buen lugar para buscar resultados conocidos sobre ellos?

La función $d$ difiere de una métrica en que no necesita ser ni simétrica ni positiva. Wikipedia me dice que $d$ es similar a una "cuasimétrica", pero la condición de "antisimetría" 3 sustituye a la condición más fuerte que si $d(x, y) = 0$ entonces $x = y$ .

Dos ejemplos de espacios métricos que surgen naturalmente de funciones como $d$ son los La métrica de Hausdorff en conjuntos compactos en un espacio métrico y la métrica en (clases de equivalencia de) conjuntos medibles dados por la medida de la diferencia simétrica.

Answer 1

Primero observe que sus 3 condiciones equivalen a requerir que $d:X \times X \to [0,+ \infty )$ satisface las dos condiciones siguientes para todos los puntos $x,y,z \in X$ :

1. $d(x,y)+d(y,z) \geq d(x,z)$ ,
2. $x=y \leftrightarrow d(x,y)=d(y,x)=0$ .

En H.-P.A. Künzi, Una introducción a los espacios cuasi-uniformes se llaman $T_0$ -cuasi-seudométrico . Han atraído la atención recientemente gracias al trabajo de M. de Brecht (ver Espacios cuasi polacos en arXiv) donde se llaman espacios cuasimétricos . M. de Brecht mostró que una gran parte de la teoría de Espacios polacos (espacios separables completamente metrisables) puede extenderse a una cierta clase de espacios cuasimétricos, a saber, los espacios cuasi-polacos.