¿Qué es? $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac i6\right)^n$ donde $i=\sqrt{-1}$ ?

Question

¿Qué es? $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac i6\right)^n$ ? donde $i=\sqrt{-1}$

Quiero evaluar el GP $$\frac i6 + \left(\frac i6\right)^2+\cdots \infty$$

Estoy pensando en utilizar la fórmula para un GP infinito en reales: $\frac{a}{1-r}$

Esto es cierto si $r\lt 1$ . Pero la comparación $\frac i6 \lt 1$ no es válido.

Entonces, fui a la fórmula inicial, suma $= \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ . Nuestra fórmula anterior será válida si $\lim_{n\to\infty}\left(\frac i6\right)^n$ es $0$ .

Ahí es donde estoy atascado. No estoy seguro de cómo evaluar este límite.

Answer 1

Usted tiene, desde $|i|=1$ , $$ \left|\frac{i^n}{6^n}\right|=\frac1{6^n}. $$ Así que el límite es cero.

Answer 2

Mira, cuando $|x|<1$ :

$$\sum_{n=\text{a}}^{\infty}x^n=\frac{x^{\text{a}}}{1-x}$$

Por la prueba de la serie geométrica, la serie diverge.

Así, cuando $x=\frac{i}{6}$ , comprueba si la condición es verdadera:

$$\left|\frac{i}{6}\right|=\frac{\left|i\right|}{\left|6\right|}=\frac{1}{6}<1$$

Así que:

$$\text{S}_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{6}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{i}{6}}=\frac{36+6i}{37}$$ $$\text{S}_1=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{i}{6}\right)^n=\frac{\frac{i}{6}}{1-\frac{i}{6}}=\frac{-1+6i}{37}$$

Answer 3

Se puede dividir la secuencia en los cuatro trozos de subsecuencia dados por $i$ tener orden $4$ .

Dependiendo de si $n$ es congruente con $1,2,3,0$ modulo $4$ . Será fácil ver que cada subsecuencia converge a 0.