¿Podemos dar una definición categórica de producto sin utilizar sub / superíndices o trampas?

Question

Por ejemplo, cambiar la notación de $C_i$ $C(i)$sería considerado hacer trampa, a menos que $C$ es un functor de una categoría $I$.

Estoy tratando de encontrar una manera de simplificar la categoría de manejo de las construcciones en el código. Si hay una manera de eliminar el sub/superscripting, eso sería increíble.

Por ejemplo, "considerar a la familia de objetos en $\mathcal{C}$, $\{C_i\}_{i \in I}$ ..." Entonces no podemos hacer algo como ha $I$ ser una categoría discreta y ha $C: I \to \mathcal{C}$ ser un functor. Entonces, ¿cómo podemos ir sobre el manejo de una familia de mapas de $C_i \xrightarrow{s_i} P$ (en la definición habitual de subproducto por ejemplo) podríamos considerar un functor de $I$ a $\text{Mor}(\mathcal{C})$? o $P\setminus \mathcal{C}$ el coslice categoría?

Estoy tratando de pensar en maneras creativas para manejar humanos de los convenios en matemáticas, tales como la suscripción. Nos tomamos estas cosas por sentado porque vienen natural para nosotros. Pero en un equipo, si dejo que una cosa suceda, tales como la suscripción, entonces abro la puerta a toda una serie de un desastre. Así que ya que estamos hablando de la categoría de la teoría de aquí, tiene que haber algunos trucos para hacer definiciones alternativas.

Espero que tenga sentido ahora.

Answer 1

Una forma común de la definición de una (co)límite es a través de $\mathsf{Nat}(\Delta X,D)\cong\mathsf{Hom}(X, \mathsf{Lim}D)$ natural en $X$ también $D : \mathcal{I}\to\mathcal{C}$ si se tienen todos los límites de la forma $\mathcal{I}$. $\Delta : \mathcal{C}\to[\mathcal{I},\mathcal{C}]$ es la constante functor, es decir, la exponencial de la transpuesta de a $\pi_1$ $\mathbf{Cat}$ $\mathcal{I}$ se supone que para ser pequeña. Para los productos, usted puede tomar la categoría discreta. Colimits parecerse a $\mathsf{Hom}(\mathsf{Colim}D,X)\cong\mathsf{Nat}(D,\Delta X)$. Si usted tiene todos los límites/colimits de forma $\mathcal{I}$, entonces usted puede también expresar estas como $\mathsf{Colim}\dashv \Delta\dashv \mathsf{Lim}$.

Usted puede desear mirar en Cáccamo y Winskel de Un Orden Superior de Cálculo para las Categorías y Hagino de la tesis, Una categoría de Lenguaje de Programación. Yo realmente no creo evitando los subíndices es una buena idea, aunque yo bien apreciar las complejidades de la adición de formas de unión a un idioma.

Answer 2

Se puede decir que una categoría tiene todos los $I$-ary productos si la diagonal functor $C \to C^I$ dado por el envío de un objeto de $c$ a la constante $I$-en forma de diagrama con valor de $c$ tiene un derecho adjuntos. Esta contigüidad a su vez puede ser expresado mediante la unidad de los counit adjunctions, que son puramente esquemática, aunque los diagramas son 2 categorías en lugar de categórica. (Para una muestra de lo que "globular" 2-categórica diagramas de parecerse a ver este blog.) Lo mismo es cierto para la sustitución de $I$ con una categoría y teniendo en cuenta $I$-en forma de límites. Es este el tipo de cosa que usted desea?