Por favor perdóname por cualquier error mientras se le pide a esta pregunta. Mientras que la aplicación de la fórmula cuadrática para encontrar las raíces, o de utilizar otros métodos para encontrar las raíces, observo que las raíces de la ecuación $y=x^2-3$ $\sqrt{3}$ $-\sqrt{3}$ . Estas raíces evaluar a ser irracional, y las raíces siempre vienen en irracional conjugados. Si puedo hacer esto con cualquier otra ecuación polinómica, la irracional soluciones casi siempre vienen en conjugados. Sin embargo, me he encontrado con un par de excepciones a esto, y no sé por qué ocurre esto. Tome la ecuación de $-x^3-2x^2+2$, donde dos de las soluciones son complejas soluciones. Después de aplicar la división larga, ¿por qué obtengo la otra respuesta a un irracional solución? Pensé en que si hay un irracional solución, seguramente debe de ser otro, pero este no es el caso en la ecuación proporcionada. ¿Por qué es esto así?
Respuestas
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El producto de todas las raíces del polinomio es exactamente el término constante del polinomio, hasta un factor de $\pm 1$. Así que si su polinomio tiene todos los enteros y los coeficientes de al menos una raíz que no se en $\mathbb{Q}$, entonces tiene que tener al menos una raíz que no se en $\mathbb{Q}$ - de lo contrario, tendríamos que multiplicar todas las raíces y tienen un número irracional igual racional.
Estas raíces pueden, por supuesto, ser complejo; en este caso, tanto la parte real o la parte imaginaria debe ser irracional. Esto es exactamente lo que usted está observando en este caso. Hay un real, irracional root y un par de complejos (conjugada) de las raíces que han irracional partes real e imaginaria.
Creo que estás confundiendo soluciones irracionales con soluciones complejas .
Las soluciones irracionales no necesitan venir en pares. La ecuación $$ x ^ 3 - 2 = 0 $$ tiene tres raíces. Uno es el número real irracional$\alpha = 2^{1/3}$. Los otros dos son el complejo par conjugado $$ \ alpha \ left (\ frac {-1 \ pm i \ sqrt {3}} {2} \ right). $$
Las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales siempre vienen en pares conjugados.
