Cálculo del límite $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2-\frac{3}{x^2+1}-4f'(x)}{f(x)}$ para una función desconocida.

Question

Dado que $f(x)$ es una función continua y satisface $f'(x)>0$ en $(-\infty,\infty)$ y $f''(x)=2 \forall x \in(0,\infty)$ .

Tenemos que encontrar el límite

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-\frac{3}{x^2+1}-4f'(x)}{f(x)}$$

Ahora el numerador tiende al infinito, por lo que el denominador también debe ir al infinito, de lo contrario el límite no existirá, así que probé la regla de L'Hospitals y se convirtió en $$\lim_{x\to\infty}\frac{6x+\frac{6x}{(x^2+1)^2}-4f''(x)}{f'(x)}$$ El numerador sigue siendo infinito, así que aplicando de nuevo la regla de L'Hospitals (asumiendo que el denominador debe seguir siendo infinito) obtenemos

$$\lim_{x\to\infty}\frac{6+\frac{6(x^2+1)^2-6x×2(x^2+1)×2x}{(x^2+1)^4}+0}{f''(x)}$$

Ahora poniendo $f''(x)=2$ obtenemos

$$3+\lim_{x\to\infty}\frac{3(x^2+1)^2-12x^2(x^2+1)^2}{(x^2+1)^4}$$

Recogiendo los coeficientes de $x^4$ a partir del numerador y el denominador obtenemos que el límite es $3-9=-6$ pero la respuesta no es -6.

¿La aplicación de LHospital es incorrecta? Ayuda.
Gracias.

Answer 1

Desde $f''(x)=2for ~~x>0$ Por lo tanto $f$ tiene la forma $f(x)=x^2+bx +c~for~~~x>0$

Como el límite está en $+\infty$ basta con considerar $x>0$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-\frac{3}{x^2+1}-4f'(x)}{f(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-\frac{3}{x^2+1}-8x-4b}{x^2+bx +c} =3$$

Answer 2

Desde $f''(x)=2$ sabemos que $f$ es una función cuadrática con término principal $x^2$ . No habrá anulación de $3x^2$ en el numerador, y al ignorar los términos de bajo orden, la expresión se simplifica a

$$\frac{3x^2}{x^2}.$$

Answer 3

Las dos condiciones dadas significan $\;\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty\;$ (¿por qué?), y luego, de su trabajo, llegamos a

$$\lim_{x\to\infty}\frac{6+\frac{6(x^2+1)^2-6x×2(x^2+1)×2x}{(x^2+1)^4}+0}{f''(x)}=\frac{6+0+0}2=3$$

No entiendo muy bien lo que has hecho después de la parte anterior en tu pregunta... pero el sumando medio en el numerador de arriba es

$$\frac{6(x^2+1)-24x^2}{(x^2+1)^3}\xrightarrow[x\to\infty]{}0$$

Answer 4

La condición $f''(x) =2$ hace que el problema sea mucho más sencillo porque entonces podemos utilizar la integración para obtener $f(x) =x^2+bx+c$ y realizar la evaluación del límite fácilmente. Sin embargo, la respuesta sigue siendo la misma si se nos da la hipótesis más débil de que $f''(x) \to 2$ como $x\to\infty$ y lo demuestro a continuación.

En primer lugar, observamos que la derivada $f'$ es positivo y por lo tanto $f$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, $f(x) $ tiende a un límite o a $\infty$ como $x\to\infty$ . Con un argumento similar $f'(x) $ también tiende a un límite o a $\infty$ . Si $f(x) $ tiende a un límite entonces $f(x+1)-f(x)=f'(c)$ (mediante el teorema del valor medio) tiende a $0$ . Esto es una contradicción ya que la derivada $f'$ es positivo y estrictamente creciente para grandes $x$ por lo que no puede tender a $0$ . Por lo tanto, se deduce que $f(x) \to\infty$ como $x\to\infty$ . Del mismo modo, $f'(x) \to \infty$ porque $f''(x) \to 2$ .

Así, el límite deseado es igual al límite de $$\frac{3x^2-4f'(x)}{f(x)}$$ Y como el denominador tiende a $\infty $ podemos probar la regla de L'Hospital para obtener la proporción $$\frac{6x-4f''(x)}{f'(x)}$$ cuyo límite es el mismo que el de $6x/f'(x)$ . Aplicando de nuevo la regla de L'Hospital obtenemos la relación $6/f''(x)$ que tiende a $3$ y por lo tanto el límite original es también $3$ .

Answer 5

La cuestión es con la mayor potencia de $x$ . En el numerador es $4$ en el denominador es $8$ (porque $(x^2+1)^4$ ). Así que el último límite es $0$