Calcular una división con parte entera y fraccionaria

Question

Tengo un problema que no sé cómo resolver:

Compute $[\frac{\sqrt{7}}{frac(\sqrt{7})}]$

Esto es lo que he probado: $[\sqrt{7}]=2 \rightarrow frac(\sqrt{7}) = \sqrt{7}-2 \rightarrow [\frac{\sqrt{7}}{frac(\sqrt{7})}] =[\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2}] = [\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+2)}{7-4}] = [\frac{7+2\sqrt{7}}{3}]$ Pero a partir de aquí ya no sé qué hacer.

Answer 1

De alguna manera hay que estimar $2\sqrt7$ . Primero observe que $2\sqrt7=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$ Así pues $5=\sqrt{25}<\sqrt{28}<\sqrt{36}=6$ Así que

$$4=\left\lfloor\frac{7+5}3\right\rfloor\le\left\lfloor\frac{7+2\sqrt7}3\right\rfloor\le\left\lfloor\frac{7+6}3\right\rfloor=4$$

Answer 2

Es inmediato que $2<\sqrt7<3$ lo que da como resultado

$$\frac{11}3<\frac{7+2\sqrt7}3<\frac{13}3$$ y la respuesta es una de $3$ o $4$ .

Evaluemos

$$\frac{7+2\sqrt7}3-4=\frac{2\sqrt7-5}3.$$

Es evidente que el numerador es positivo, por

$$2\sqrt7>5\iff 28>25.$$

Por lo tanto, $4$ .

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También puedes empezar con un horquillado más ajustado,

$$2.5=\frac52<\sqrt7<3,$$ justificado por $$\frac{25}4<7.$$

Entonces

$$\frac{7+2\cdot\dfrac52}3=4<\frac{7+2\sqrt7}3<\frac{7+2\cdot3}3<5.$$

Answer 3

$$x\le \frac{7+2\sqrt{7}}{3}<x+1$$ $$3x\le 7+2\sqrt{7}<3x+3$$ $$3x-7\le 2\sqrt{7}<3x-4$$ $$\frac{3x-7}{2}\le \sqrt{7}<\frac{3x-4}{2}$$ $$\frac{9x^2-42x+49}{4}\le 7<\frac{9x^2-24x+16}{4}$$ $$9x^2-42x+49\le 28<9x^2-24x+16$$ donde $x\in N$ . Hay solución entera es $x=4$ .

Answer 4

Ahora, demuestre que $$4<\frac{7+2\sqrt7}{3}<5$$