En el libro de la física Matemática por V. Balakrishnan, dice (en la página 329) que el isomorfismo entre el${\rm SO}(2)$$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, y el hecho de que $\mathbb{R}$ es el universal que cubre el grupo de ${\rm SO}(2)$ tiene profundas implicaciones en sistemas bidimensionales en física de la materia condensada y la teoría cuántica de campos sin ninguna otra explicación. Alguien puede ampliar la información sobre lo que él podría tener en mente?
Respuestas
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En $d\ge 3$, la primera homotopy grupo de $\mathrm{SO}^+(1,d)$$\mathbb Z_2$, que básicamente lleva a la vuelta de cuantización. En $d=2$, y debido a $\mathrm{SO}(2)\sim\mathbb R/2\pi\mathbb Z$,$\pi_1(\mathrm{SO}^+(1,d))=\mathbb Z$, y por lo tanto no tenemos spin cuantificación más. Las partículas no están clasificados en los bosones vs fermiones, pero pueden tener cualquier estadística. Podemos encontrar anyons, que conducen a una rica fenomenología (piensa en el efecto Hall cuántico fraccionario, etc.).
Recordemos que girar viene de la proyectivas de las representaciones de la pequeña del grupo, a saber, $\mathrm{SO}(d)$. A diferencia de las dimensiones superiores, en $d=2$ tenemos que $\mathrm{Spin}(d)$ es no la universalización de la cobertura de $\mathrm{SO}(d)$; de hecho, $\widehat{\mathrm{SO}}(2)=\mathbb R$, que no es compacto. Por lo tanto, no requieren $U(4\pi)=1$, por lo que la tirada no es más un semestre entero. La diversión!
Andrea Di Persio
Puntos
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La distinción entre los grupos $\mathbb R$ $\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$ es topológico, por lo tanto es relevante en aspectos topológicos de campo de las teorías.
Un ejemplo clásico de dos (espacio) dimensiones del sistema donde este material es importante es el Abelian-Higgs del modelo que aparece en física de la materia condensada (no relativista) y la física de alta energía (relativista). Este consiste básicamente en un medidor de campo de la teoría con la simetría local álgebra $\mathfrak u(1)$ y el indicador de simetría espontáneamente rota el elemento de identidad $e$ por un complejo escalar (campo de Higgs). Si el indicador grupo de simetría es$\mathbb R/\mathbb Z\cong SO(2)\cong S^1$, la estática de energía finita configuraciones de proporcionar mapas de $\phi:S^1\rightarrow S^1$ desde el círculo infinito del vacío del colector de $SO(2)/e\cong SO(2)\cong S^1$, que es otro círculo. El grupo fundamental del segundo círculo, $\pi_1(S^1)$, no es trivial: como cubrimos el primer círculo, la imagen puede cubrir el segundo círculo de $n$ tiempos, habiendo por lo tanto liquidación número $n$. Mapas con diferentes liquidación número no se deforma continuamente en cada uno de los otros, que no son homomórfica. Todos homomórfica mapas se dice que estar en la misma clase de equivalencia y están asociados a un elemento del grupo fundamental. Por lo tanto,$\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$. La física implicación de todo lo que es straithforward: desde mapas con diferentes liquidación números no son homomórfica, el asociado escalar campo no decaer en cada uno de los otros. Esto da lugar a configuraciones estables como vórtices que se comprueban experimentalmente en la superconductividad, en la forma de la Abrikosov vórtice líneas y se prevé en el Grand Unified Teorías de cuerdas cósmicas que pueden tener implicaciones cosmológicas como en la formación de galaxias. También puede ser relevante en el confinamiento de quarks problema, donde las configuraciones topológicas son llamados tubos de flujo (tenga en cuenta que en los tres ejemplos, la configuración se extiende en otra dimensión de espacio, pero todos topológico relevancia se encuentra en las dos dimensiones de la sección). Por otro lado, si acabamos de cambiar la topología del grupo gauge, diciendo que el es $\mathbb R$, a continuación vamos a ver las configuraciones asociadas a $\phi:S^1\rightarrow \mathbb R$. Pero ya que todas las curvas cerradas en $\mathbb R$ puede ser reducido a punto, todos ellos son homomórfica, es decir,$\phi(\mathbb R)= e$. Físicamente esto significa que todas las configuraciones puede decaer en el vacío por lo tanto no es estable vórtices.
Si quieres leer una buena introducción sobre topológico de soluciones en el campo de la teoría, incluyendo discusiones sobre homotopy grupos, el Abelian-Higgs del modelo y de los vórtices puede consultar el capítulo 3 (en especial la sección 3.3) de Cuerdas Cósmicas y Otros Defectos Topológico por Vilenkin y Shellard.
