Así que se sabe que no hay regla del producto y regla del cociente para la integración. Pero, ¿hay alguna razón por la que no existan y sí existan las reglas para la diferenciación?
Las reglas del producto son, de hecho, una forma sencilla de obtener la integración por partes. Si tenemos $$ \frac{d}{dt}\bigl(f(t)\,g(t)\bigr)=f'(t)\,g(t)+f(t)\,g'(t) $$ entonces la FTC nos dice que $$ \int_{a}^x\frac{d}{dt}\bigl(f(t)\,g(t)\bigr)\,\mathrm dt=\int_a^xf'(t)\,g(t)\,\mathrm dt+\int_{a}^xf(t)\,g'(t)\,\mathrm dt\\ \implies f(x)\,g(x)-\int_a^xf'(t)\,g(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^xf(t)\,g'(t)\,\mathrm dt+C $$ donde $C=f(a)\,g(a)$ .
En primer lugar, la regla de integración más "análoga" a la regla del producto es la integración por partes: $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ Esta fórmula puede establecerse partiendo de la regla del producto: $$ d(uv) = v \cdot du + u \cdot dv $$ Ahora integra ambos lados y reordénalos un poco. Esto deja fuera algunos detalles, pero a un alto nivel eso es lo que está pasando.
En general, ocurre que la integración es un problema mucho más difícil que la diferenciación. Se puede tomar la derivada de cualquier función elemental que se pueda escribir. Pero no ocurre lo mismo con la integración. Por ejemplo, $e^{\sin x}$ es muy fácil de diferenciar con la regla de la cadena. Pero no existe una fórmula para integrarla.
Edita: A la luz del comentario de Carmeister, me gustaría aclarar que (en mi opinión) hay hace existe un análogo integral a la regla del producto, y ese análogo es la integración por partes.
Lamentablemente no se puede comentar una imagen, pero creo que esta imagen complementaría muy bien las respuestas anteriores:
Para ver cómo se relaciona esto con la regla del producto, toma la respuesta de qbert y cambia $f(t)$ y $g(t)$ con $u$ y $v$ .
Puedes ver cómo funciona esto para integrales definidas e indefinidas tomando la fórmula estándar de integración por partes,
$$\int v \, du = uv - \int u\,dv$$
y evaluándola entre los puntos $(v_1,u_1)$ y $(v_2,u_2$ ), dándole
$$\int_{u_1}^{u_2} v \, du = u_2v_2 - u_1v_1 -\int_{v_1}^{v_2} u\,dv$$
Nota al margen: Yo odio haciendo integración por partes con $u$ y $v$ - ¡se parecen demasiado! Por eso prefiero utilizar $w$ y $z$ .
No entiendo por qué alguien downvoted esto. Fue para equilibrar la puntuación de +2 o fue porque esto es malo en general?
En realidad, parece que alguien ha votado a la baja cada una de las respuestas, así que quizá no debería preocuparme demasiado.
No soy el downvoter, pero parece que la pregunta es más preguntando acerca de por qué no existe una fórmula para $\int uv$ que ninguna de las respuestas aborda.
Intentaré enfocar esta cuestión de forma un poco más abstracta. Sé que no seré preciso al 100% en mis afirmaciones, pero creo que de eso se trata.
En primer lugar, nótese que la integración indefinida es básicamente una operación inversa a la derivada, y ésta es básicamente la única definición que tenemos. Sí, se puede definir la integral indefinida como $F(x) = \int_a^x f(\xi) d\xi$ y utilizar la integral de Riemann (o de Lebesgue), pero éstas implican fórmulas locas con límites extraños de sumas y esas cosas.
El hecho de que exista una fórmula fácil para la derivada de un producto es inútil para la derivada inversa de un producto. Del mismo modo, el cálculo del producto de dos funciones es fácil, pero el cálculo de la función inversa de un producto es difícil.
En realidad, ¡el producto de funciones invertibles puede que ni siquiera sea invertible! (Ejemplo: $e^x\sqrt{1/x}$ .) O bien, la inversa puede no ser expresable en funciones elementales. (Ejemplo: $e^x\sqrt{x}$ .) Y esto es en mi opinión similar a las integrales, donde un producto de dos funciones con integrales expresables en funciones elementales puede no tener tal integral. (Sirven los mismos dos ejemplos).
Así que, de alguna manera, esta cuestión está relacionada con el hecho de que cuando alguna operación funciona bien en los productos, su inversa no tiene por qué hacerlo, implícitamente.
La integración no sigue ningún tipo de regla general en el caso de las fracciones.
Sin embargo, para la integración de las funciones de los productos, tenemos el siguiente desglose -
Sean dos funciones $u(x)$ y $v'(x)$ (denotado además por $u$ y $v$ ), tal que $\displaystyle \int v'(x) \; dx = v(x)$ ,
Entonces por la regla del producto, tenemos $$d(uv)=u'v+uv'$$
Integrando ambas partes
$$uv=\int u'v+\int uv' $$
$$\implies \color{blue}{\int uv'=uv-\int u'v}$$
Esto se conoce como Integración por piezas
Creo que es un error tipográfico o una notación confusa, cuando escribes $\int v' = v$ ou $d(uv) = u'v+uv'$ .
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Es integración por partes.
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¿qué entiende por regla del producto?
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En cuanto a las funciones del producto y reglas de cociente en integración, mira math.stackexchange.com/questions/1653814/
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Un pequeño comentario sobre las respuestas hasta ahora: si escribes la integración por partes como $\int uv'=uv-\int u'v$ entonces no parece realmente una regla de producto, pero si escribes $w=v'$ entonces se convierte en $\int uw = u\int w - \int\left(u'\int w\right)$ que es una fórmula para la integral de un producto.
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En una línea similar a lo dicho por @Nathaniel: ¿Estás pidiendo la fórmula para evaluar $\int f(x)\,g(x)\,dx$ ¿Exactamente?