Probar que un número complejo es real

Question

Si $$\left|\frac{Z_1 - iZ_2}{Z_1 + iZ_2}\right| = 1$$ then prove that $Z_1/Z_2$ es real .

Esta es la forma en que procedió.

Dividiendo todo por $Z_2$ tendremos

$$\left|{\frac{\frac{Z_1}{Z_2} - i}{\frac{Z_1}{Z_2} + i}}\right| = 1$$

Así

$$\left|\frac{Z_1}{Z_2} - i\right|= \left|\frac{Z_1}{Z_2} + i\right|$$

¿Cómo proceder a partir de aquí ?

De acuerdo a la solución del problema anterior , la instrucción anterior implicaría que $\frac{Z_1}{Z_2}$ es equidistante de a$i$$-i$. Por lo tanto es real. Ahora, ¿cómo hacer que sea real ? Por favor me ayudan con esto.

Answer 1

Deje $z = \frac{Z_1}{Z_2}\,$, $|z-i|$ es la distancia entre el punto de $z$ y el punto de $i$ en el eje imaginario. Asimismo, $|z+i|=|z-(-i)|$ es la distancia entre el$z$$-i\,$. Por lo tanto, $z$ está a la misma distancia de la $i$$-i$, por lo que se encuentra en la mediatriz del segmento entre el$i$$-i$, que es en realidad el eje real.

Alternativamente, esto puede ser demostrado de manera algebraica de la siguiente manera:

$$ |z-i|^2=|z+i|^2 \iff (z-i)(\bar z +i)=(z+i)(\bar z -i) \\ \ffi |z|^2+1 +i(z-\bar z) = |z|^2+1+i(\bar z - z) \iff z-\bar z = 0 $$

Pero $z-\bar z = 2 i \operatorname{Im}(z)\,$, lo $z-\bar z = 0$ significa que $\operatorname{Im}(z)=0\,$ es decir $\,z$ es un número real.

Answer 2

Sugerencia: La recta real es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de a$+i$$-i$.

Answer 3

Incluso si usted no puede pensar de un buen atajo (como se da en las otras respuestas), al menos puede utilizar la fuerza bruta: lo que se da es:

$$\frac{z_1-iz_2}{z_1+iz_2}\cdot\frac{\overline{z_1}+i\overline{z_2}}{\overline{z_1}-i\overline{z_2}}=1$$

o, después de la limpieza:

$$z_1\overline{z_1}+iz_1\overline{z_2}-i\overline{z_1}z_2+z_2\overline{z_2}=z_1\overline{z_1}-iz_1\overline{z_2}+i\overline{z_1}z_2+z_2\overline{z_2}$$

o, después de la cancelación de términos idénticos y dividiendo por $2i$:

$$z_1\overline{z_2}=\overline{z_1}z_2$$

o, después de dividir por $z_2\overline{z_2}$:

$$\frac{z_1}{z_2}=\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}$$

es decir, $\frac{z_1}{z_2}$ es real.

Todo lo he utilizado bien conocidas las propiedades del complejo conjugado: $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}$, $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$, $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$, $\overline{(\pm i)}=\mp i$, así como el hecho de que $z$ es real si, y sólo si $z=\overline{z}$.

Answer 4

He aquí una prueba geométrica. El punto de $$B = \frac{Z_1 - iZ_2}{Z_1 - iZ_2}$$ es la imagen del punto de $A = Z_1/Z_2$ menos que la transformación de Möbius $$\mu(z) = \frac{z - i}{z + i}.$$ Eso significa que $A$ es la imagen de $B$ bajo la transformación inversa de a $\mu^{-1}$. Quiere mostrar que si $B$ se encuentra en el círculo unidad, a continuación, $A$ se encuentra en la recta real. En otras palabras, se desea mostrar que $\mu^{-1}$ envía la unidad de círculo a la línea real. Esta es la misma como muestra de que la $\mu$ envía la verdadera línea del círculo unidad.†

Una transformación de Möbius envía cada círculo, y cada línea, un círculo o una línea. Para ahorrar tinta, vamos a referirnos a ambos círculos y líneas como generalizada de los círculos, en el principio de que una línea es un "círculo de radio infinito." Entonces podemos decir sólo una transformación de Möbius envía cada generalizada círculo a otro generalizado círculo.

Puede describir un generalizada círculo por completo listado de tres puntos diferentes que pasa a través. La línea real, por ejemplo, es el único generalizada de un círculo que pasa a través de $-1$, $0$, y $1$. El círculo unitario es el único generalizada de un círculo que pasa a través de $i$, $-1$, y $-i$.

Usted puede mostrar por cálculo directo que $\mu$ envía los puntos $-1$, $0$, y $1$ a los puntos $i$, $-1$, y $i$, respectivamente. Desde una transformación de Möbius envía generalizada círculos generalizada círculos, $\mu$ debe enviar la generalizada círculo que pasa a través de a través de $-1$, $0$, y $1$ a la generalización de un círculo que pasa a través de $i$, $-1$, y $-i$. En otras palabras, $\mu$ debe enviar la verdadera línea del círculo unidad.

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† Para hacer de este argumento hermético, tienes que ver las transformaciones de Möbius como las transformaciones de la extendida plano complejo: el plano complejo, más un punto extra $\infty$, que se puede considerar como el recíproco de $0$.

Answer 5

O (el "bendito enfoque") puede permitir $\frac{Z_1}{Z_2} = x + yi$ donde $x, y \in \mathbb R$

Así que al final termina con $|x+(y+1)i| = |x+(y-1)i|$

que da $x^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y-1)^2 \implies (y+1)^2 - (y-1)^2 = 0 \implies 2y(2) = 0 \implies y = 0$. Desde su parte imaginaria es cero, $\frac{Z_1}{Z_2}$ es real.